코시-오일러 방정식(영어: Cauchy–Euler equation)은 선형 동차 상미분 방정식이다.
n차 코시-오일러 방정식은 미지 함수
에 대한, 다음과 같은 n차 상미분 방정식이다.
![{\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c4d7d647eadccb4f0f510146c8fc7180ff0e62)
여기서
은 주어진 계수들이다.
2차 코시-오일러 방정식[편집]
2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같다.
![{\displaystyle x^{2}y''+axy'+by=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2673ef4605c4e08fef232f97a5c8030bd4a2fc9e)
이는 다음과 같이 풀 수 있다. 우선 다음과 같은 가설 풀이를 사용하자.
![{\displaystyle y=x^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3989709fb00ded614f89e9fdb94733514334e158)
이를 첫 번째 식에 대입하면,
![{\displaystyle x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f6bcd5c4ec759f0d8e321edc755810c963a733)
이 되고,
일 때 공통인자
을 제거하면,
![{\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d67bbcf7691022bdb7bc49bc0d5d4a853d1c82)
이 된다.
여기서
에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.
근의 수 |
해
|
서로 다른 두 실근 |
|
중근 |
|
공역 복소근 |
|
참고 도서[편집]
- Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.