유카와 상호작용

입자물리학에서, 유카와 히데키의 이름을 딴 유카와 상호작용(영어: Yukawa interaction) 또는 유카와 커플링(영어: Yukawa coupling)은 유카와 퍼텐셜에 따른 입자 간의 상호작용이다. 구체적으로는 다음과 같은 형태의 스칼라장 (또는 유사스칼라장) $\phi$ 와 디랙장 $\psi$ 사이의 상호작용을 말한다.

V=g\ {\bar {\psi }}\phi \psi

(스칼라) 또는

g\ {\bar {\psi }}i\gamma ^{5}\phi \psi

(유사스칼라).

유카와 상호작용은 하드론 사이의 강한 상호작용을 모델링하기 위해 개발되었다. 따라서 유카와 결합은 파이 중간자(유사스칼라 중간자)에 의해 매개되는 핵자 사이의 핵력을 설명하는 데 사용된다.

유카와 결합은 또한 표준 모형에서 힉스장과 질량이 없는 쿼크 및 렙톤 장(즉, 기본 페르미온 입자) 사이의 결합을 설명하는 데 사용된다. 자발 대칭 깨짐을 통해 이러한 페르미온들은 힉스장의 진공 기댓값에 비례하는 질량을 얻게 된다. 이 힉스-페르미온 결합은 1967년 스티븐 와인버그가 렙톤 질량을 모델링하기 위해 처음으로 기술하였다.^[1]

고전적 퍼텐셜

만약 두 페르미온이 질량 $μ$ 인 유카와 입자(영어: Yukawa particle)에 의해 매개되는 유카와 상호작용을 통해 상호작용한다면, 두 입자 사이의 퍼텐셜(유카와 퍼텐셜로 알려짐)은 다음과 같다. $V(r)=-{\frac {g^{2}}{\,4\pi \,}}\,{\frac {1}{\,r\,}}\,e^{-\mu r}$ 이는 부호와 지수 인자를 제외하면 쿨롱 퍼텐셜과 동일하다. 부호는 모든 입자 사이의 상호작용을 인력으로 만든다(전자기 상호작용은 같은 전하 부호를 가진 입자 사이에서 척력이 작용한다). 이는 유카와 입자가 스핀 0을 가지며, 짝수 스핀은 항상 인력 퍼텐셜을 결과로 낸다는 사실로 설명된다. (이는 양자장론의 자명하지 않은 결과이다.^[2] 파이 중간자(스핀 0, 유카와 힘)나 중력자(스핀 2, 중력)와 같은 짝수 스핀 보손의 교환은 항상 인력을 발생시키는 반면, 글루온(스핀 1, 강한 상호작용), 광자(스핀 1, 전기자기력) 또는 로 중간자(스핀 1, 유카와 유사상호작용)와 같은 홀수 스핀 보손은 반대 전하 사이에는 인력을, 같은 전하 사이에는 척력을 발생시킨다.) 지수 함수에서의 음수 부호는 상호작용에 유한한 유효 범위를 부여하므로, 먼 거리에 있는 입자들은 더 이상 거의 상호작용하지 않게 된다(상호작용 힘은 거리가 멀어짐에 따라 지수적으로 감소한다).

다른 힘들과 마찬가지로, 유카와 퍼텐셜의 형태는 패러데이가 도입한 력선 그림의 관점에서 기하학적 해석을 갖는다. $1/r$ 부분은 공간에서 력선 다발의 희석 결과이다. 힘은 단위 면적을 통과하는 력선의 수에 비례한다. 력선은 힘의 원천으로부터 등방적으로 방출되고, 단위 면적과 원천 사이의 거리 $r$ 는 면적의 겉보기 크기(입체각)를 $1/r 2$ 에 따라 변화시키므로, 힘 또한 $1/r 2$ 의존성을 따른다. 이는 퍼텐셜의 $1/r$ 부분과 동등하다. 또한, 교환되는 중간자들은 불안정하며 유한한 수명을 가진다. 중간자의 사라짐(방사성 붕괴)은 면적을 통과하는 다발의 감소를 일으키며, 이는 유카와 퍼텐셜의 추가적인 지수 인자 $e -μr$ 를 결과로 낸다. 광자와 같은 질량이 없는 입자들은 안정적이어서 $1/r$ 퍼텐셜만을 생성한다. (단, 글루온이나 중력자와 같은 다른 질량 없는 입자들은 서로 상호작용하여 장의 패턴을 왜곡하기 때문에 일반적으로 $1/r$ 퍼텐셜을 생성하지 않는다. 약한 장 중력(뉴턴 중력)이나 강한 상호작용의 매우 짧은 거리(점근 자유성)와 같이 이러한 자기 상호작용을 무시할 수 있는 경우, $1/r$ 퍼텐셜이 회복된다.)

작용

유카와 상호작용은 다음과 같은 형태의 스칼라장 (또는 유사스칼라장) $ϕ$ 와 디랙장 $ψ$ 사이의 상호작용이다.

V\approx g\,{\bar {\psi }}\phi \psi

(스칼라) 또는

g\,{\bar {\psi }}i\gamma ^{5}\phi \psi

(유사스칼라).

디랙 중입자 장 $\psi$ 와 상호작용하는 중간자 장 $\phi$ 에 대한 작용은 다음과 같다. $S[\phi ,\psi ]=\int \left[\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Dirac} }(\psi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )\,\right]\mathrm {d} ^{n}x$ 여기서 적분은 $n$ 차원에 대해 수행된다. 일반적인 4차원 시공간의 경우 $n = 4$ 이며, $\mathrm {d} ^{4}x\equiv \mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{3}\,\mathrm {d} x_{4}$ 이다.

중간자 라그랑지언은 다음과 같이 주어진다. ${\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )~.$

여기서 $V(\phi )$ 는 자기 상호작용 항이다. 자유 장 질량 중간자의 경우 $\textstyle V(\phi )={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}$ 이며, 여기서 $\mu$ 는 중간자의 질량이다. (재규격화 가능한 다항식) 자기 상호작용 장의 경우, $\textstyle V(\phi )={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}$ 가 되며, 여기서 $λ$ 는 결합 상수이다. 이 퍼텐셜은 사승 상호작용 문서에서 자세히 다룬다.

자유 장 디랙 라그랑지언은 다음과 같이 주어진다. ${\mathcal {L}}_{\mathrm {Dirac} }(\psi )={\bar {\psi }}\,\left(i\,\partial \!\!\!/-m\right)\,\psi ,$ 여기서 $m$ 은 페르미온의 실수 값인 양의 질량이다.

유카와 상호작용 항은 스칼라 중간자의 경우 ${\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )=-g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi ,$ 여기서 $g$ 는 (실수) 결합 상수이며, 유사스칼라 중간자의 경우 ${\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )=-g\,{\bar {\psi }}\,i\,\gamma ^{5}\,\phi \,\psi$ 이다. 이를 모두 합치면 위의 내용을 다음과 같이 더 명시적으로 쓸 수 있다. $S[\phi ,\psi ]=\int \left[{\tfrac {1}{2}}\,\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )+{\bar {\psi }}\,\left(i\,\partial \!\!\!/-m\right)\,\psi -g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi \,\right]\mathrm {d} ^{n}x~.$

표준 모형에서 힉스와의 결합

표준 모형에서 자발 대칭 깨짐에 영향을 주는 힉스장에 대한 유카와 결합 항은 대칭적인 방식으로 페르미온 질량을 결정한다.

퍼텐셜 $V(\phi )$ 의 최솟값이 $\phi =0$ 이 아니라 어떤 0이 아닌 값 $\phi _{0}$ 에서 발생한다고 가정하자. 이는 예를 들어 $V(\phi )=\lambda \phi ^{4}-\mu ^{2}\phi ^{2}$ 와 같은 퍼텐셜 형태에서 발생할 수 있다. 이 경우, 라그랑지언은 자발 대칭 깨짐을 나타낸다. 이는 $\phi$ 장의 0이 아닌 값이 진공에서 작동할 때, $\phi$ 의 0이 아닌 진공 기댓값을 가지기 때문이다.

표준 모형에서, 이러한 0이 아닌 기댓값은 모델의 카이랄 대칭성이 페르미온 질량을 배제함에도 불구하고 페르미온 질량을 생성하는 역할을 한다. 질량 항을 보이기 위해, 작용을 유도된 장 $\phi '=\phi -\phi _{0}$ 에 대해 다시 표현할 수 있다. 여기서 $\phi _{0}$ 는 위치에 독립적인 상수이다. 이것은 유카와 항이 다음과 같은 성분을 포함함을 의미한다. $g\,\phi _{0}\,{\bar {\psi }}\,\psi$ 그리고 $g$ 와 $\phi _{0}$ 모두 상수이므로, 이 항은 $g\phi _{0}$ 에 해당하는 질량을 가진 페르미온의 질량 항으로 나타난다. 이 메커니즘은 자발 대칭 깨짐이 페르미온에 질량을 부여하는 수단이다. 스칼라장 $\phi '$ 는 힉스장으로 알려져 있다.

표준 모형에서 임의의 주어진 페르미온에 대한 유카와 결합은 이론의 입력값이다. 이러한 결합의 궁극적인 이유는 알려져 있지 않으며, 이는 더 나은, 더 깊은 이론이 설명해야 할 부분이다.

마요라나 형태

스칼라와 마요라나장 사이의 유카와 상호작용도 가능하다. 사실, 스칼라와 디랙 스피너를 포함하는 유카와 상호작용은 동일한 질량을 가진 두 개의 마요라나 스피너와 스칼라 사이의 유카와 상호작용으로 생각할 수 있다. 두 개의 카이랄 마요라나 스피너로 나누어 표현하면 다음과 같다. $S[\phi ,\chi ]=\int \left[\,{\frac {1}{2}}\,\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )+\chi ^{\dagger }\,i\,{\bar {\sigma }}\,\cdot \,\partial \chi +{\frac {i}{2}}\,(m+g\,\phi )\,\chi ^{\mathrm {T} }\,\sigma ^{2}\,\chi -{\frac {i}{2}}\,(m+g\,\phi )^{*}\,\chi ^{\dagger }\,\sigma ^{2}\,\chi ^{*}\,\right]\mathrm {d} ^{n}x,$ 여기서 $g$ 는 복소수 결합 상수이고, $m$ 은 복소수이며, $n$ 은 위와 같이 차원의 수이다.

같이 보기

유카와 퍼텐셜: 유카와 상호작용을 포함하는 파인만 도형으로부터 파인만 규칙의 간단한 예와 산란 진폭의 계산을 제공한다.

각주

↑ Weinberg, Steven (1967년 11월 20일). 《A Model of Leptons》. 《Physical Review Letters》 19. 1264–1266쪽. Bibcode:1967PhRvL..19.1264W. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1264.
↑ A. Zee (2010). 〈I.5〉 2판. 《Quantum Field Theory in a Nutshell》. World Scientific. ISBN 978-0691140346.

Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). 《Quantum Field Theory》. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-032071-3.
Bjorken, James D.; Drell, Sidney D. (1964). 《Relativistic Quantum Mechanics》. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-232002-8.
Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). 《An Introduction to Quantum Field Theory》. Addison-Wesley. ISBN 0-201-50397-2.

[1] Weinberg, Steven (1967년 11월 20일). 《A Model of Leptons》. 《Physical Review Letters》 19. 1264–1266쪽. Bibcode:1967PhRvL..19.1264W. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1264.

[2] A. Zee (2010). 〈I.5〉 2판. 《Quantum Field Theory in a Nutshell》. World Scientific. ISBN 978-0691140346.

[1]

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