사원수와 회전

사원수(쿼터니언)는 3차원 공간에서 물체의 회전을 표현하는 편리한 수학적 표기법으로 사용된다. 쿼터니언은 임의의 축을 중심으로 회전한 상태를 4개의 숫자로 표현한다. 회전을 표현하는 자세쿼터니언은 컴퓨터 그래픽,^[1] 컴퓨터 비젼,^[2] 항법, 분자동역학, 비행동역학,^[3] 인공위성의 궤도역학,^[4]과 자세역학, 결정(crystallographic) 질감 해석에 사용된다.^[5]

회전을 나타내는 단위 쿼터니언은 회전쿼터니언이라고도 불린다. 어떤 물체의 자세를 기준좌표계에 대하여 표현할때, 이를 표현한 쿼터니언은 자세쿼터니언이라고 불린다. 단위벡터 $(e_{1},e_{2},e_{3})$ 에 대하여 $\theta$ 만큼 회전한 자세는 쿼터니언으로 $(e_{1}\sin(\theta /2),e_{2}\sin(\theta /2),e_{3}\sin(\theta /2),\cos(\theta /2))$ 로 표현된다.

회전행렬에 9개의 숫자와 비교하여 쿼터니언은 4개만의 훨씬 적은 갯수의 숫자로 회전을 표현하여 더 효율적이면 수치적으로도 더 안정하다. 오일러각과 비교해서는 김벌락이라는 현상이 생기지 않는다. 다만, 오일러각이 직관적으로 자세를 이해할 수 있는 반면, 쿼터니언은 직관적인 값을 제공하지는 않는다. 그리고 삼각함수의 주기성으로 인해 같은 자세를 나타내는 쿼터니언은 유일하지 않다.

참고 문헌[편집]

↑ Shoemake, Ken (1985). “Animating Rotation with Quaternion Curves” (PDF). 《Computer Graphics》 19 (3): 245–254. doi:10.1145/325165.325242. Presented at SIGGRAPH '85.
↑ J. M. McCarthy, 1990, Introduction to Theoretical Kinematics, MIT Press
↑ Amnon Katz (1996) Computational Rigid Vehicle Dynamics, Krieger Publishing Co. ISBN 978-1575240169
↑ J. B. Kuipers (1999) Quaternions and rotation Sequences: a Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality, Princeton University Press ISBN 978-0-691-10298-6
↑ Karsten Kunze, Helmut Schaeben (November 2004). “The Bingham Distribution of Quaternions and Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis”. 《Mathematical Geology》 36 (8): 917–943. doi:10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59. S2CID 55009081.

[Shoemake-1] Shoemake, Ken (1985). “Animating Rotation with Quaternion Curves” (PDF). 《Computer Graphics》 19 (3): 245–254. doi:10.1145/325165.325242. Presented at SIGGRAPH '85.

[2] J. M. McCarthy, 1990, Introduction to Theoretical Kinematics, MIT Press

[3] Amnon Katz (1996) Computational Rigid Vehicle Dynamics, Krieger Publishing Co. ISBN 978-1575240169

[4] J. B. Kuipers (1999) Quaternions and rotation Sequences: a Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality, Princeton University Press ISBN 978-0-691-10298-6

[Lunze-5] Karsten Kunze, Helmut Schaeben (November 2004). “The Bingham Distribution of Quaternions and Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis”. 《Mathematical Geology》 36 (8): 917–943. doi:10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59. S2CID 55009081.

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