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HJM 모형(Heath-Jarrow-Morton model, HJM model)이란 선도이자율(forward rate)의 움직임을 정의하여 이를 통해 이자율의 기간구조를 구하고 채권 및 관련 파생상품의 적정가격을 계산하는 이자율 기간구조모형의 하나이다.

선도이자율의 정의

HJM 모형은 $d$차원 위너 프로세스 $W$와 확률공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, 여과 ${\mathcal {F}}^{W}$가 주어진 상태에서 다음과 같이 고정된 만기 $T$에 대하여 연속복리계산이 가능한 순간선도이자율 프로세스 $f(t,T)$가 다음과 같이 존재한다고 가정한다.

$df(t,T)=\alpha (t,T)dt+\sigma (t,T)\cdot dW_{t}$

여기서 $\alpha (\cdot ,T)$, $\sigma (\cdot ,T)$는 각각 여과 ${\mathcal {F}}^{W}$에 순응하며 다음 조건을 만족하는 확률과정이다.

$\int _{0}^{T}\vert \alpha (u,T)\vert du+\int _{0}^{T}\vert \sigma (u,T)\vert ^{2}du<\infty ,\quad \mathbb {P} {\textrm {-a.s.}}$

또한 시점 0 을 현재시점으로 볼 경우 모든 만기 $T$에 대해 $f(0,T)$는 현재 시장에서 나타나는 선도이자율을 통해 확인할 수 있다. 이러한 조건들이 모두 주어졌을때 위의 확률미분방정식은 다음과 같이 적분 형태로도 나타낼 수 있다.

$f(t,T)=f(0,T)+\int _{0}^{t}\alpha (u,T)du+\int _{0}^{t}\sigma (u,T)\cdot dW_{u}$

무이표채권의 가격 프로세스

HJM 모형 하에서 무이표채권(zero-coupon bond)의 가격 프로세스 $B(t,T)$는 다음과 같은 형태로 정리할 수 있다.

$dB(t,T)=B(t,T)(a(t,T)dt+b(t,T)\cdot dW_{t})$

여기서

$a(t,T)=f(t,t)-\alpha ^{*}(t,T)+{\frac {1}{2}}\vert \sigma ^{*}(t,T)\vert ^{2},\quad b(t,T)=-\sigma ^{*}(t,T),$

$\alpha ^{*}(t,T)=\int _{t}^{T}\alpha (t,u)du,\quad \sigma ^{*}(t,T)=\int _{t}^{T}\sigma (t,u)du$

이다.