사용자:상학 이/미적분에 대한 쉬운 이해
== 미적분의 본질 ==
1. 미분의 본질
'모든 현상의 일부분은 전체를 포함한다.' 라는 생각에서 출발
같은 원리로, 그래프를 분석할 때 그래프의 일부분을 조사하면 전체에 대한 성질을 알 수 있다.
그래프가 3/1그려졌을 때 그래프를 미분하여 전체에 대한 성질을 알아 그래프 뒷부분을 완성시킬 수 있다. 즉, 미분은 '사물이 어떻게 변화하는지 계산하는 수학적 도구'로 정의할 수 있다.
2. 미분법의 탄생
접선의 기울기는?
라는 질문에서 시작하였다. 접선의 기울기를 구하는 방법 중 뉴턴의 방법을 소개하겠다.
Newton's Idea
함수는 점의 궤적이다. 따라서 접선의 기울기는 접점과 접점이후 아주조금의 시간이 지난후의 점의 기울기가 접선의 기울기와 같다. 즉,
이다.
T1 (a, b)--> T2(a+op, b+oq) [o는 아주 작은 양수, p는 a의 속력, q는 b의 속력]이다. (1) oq/op = q/p (2) f(a+op) = b+oq 으로 q/p를 구할 수 있다. 그러나 이와 같은 복잡한 식을 매번 미분할 때마다 하기 번거롭기에 뉴턴은 여러 식을 미분해본 결과 한 가지 같은 패턴을 발견했다. 미분함수는 원시함수의 차수에서 1을 빼고, 차수를 계수 앞에 곱한다는 패턴이 모든 함수의 미분과정에서 발견되었다. 이에 이를 공식으로 정형화 시키고 현재는 미분을 아주 간단한 규칙에 의거해 계산하고 있다.
3. 미분, 적분의 의미
미분은
위와 같이 그래프의 특징을 부각시키는 역할을 한다. 과학자들은 그래프의 변동 가운데 세세한 변화를 자세히 살펴보고자 할 때 그 데이터를 미분해 보곤 한다. 미분은 짧은 파장을 더 짧게, 긴 파장을 더 길게 만들어 특징을 부각시킨다.
적분도 마찬가지로 그래프의 특징을 부각시키는 역할을 한다. 과학자들은 그래프의 변동 가운데 느린 변동을 보고자 한때는 이 데이터를 적분한다. 적분은 전체의 변화를 평균해 장기적인 경향을 아는데 편리한 조작임을 알 수 있다.
적분은 파장이 짧은 파형은 작아지고, 파장이 긴 파형이 강조된다.
4. 미분, 적분의 활용
(1) 미분의 기능과 그 과정
- 생활 속 현상관찰(1)
공을 던졌더니 운동에너지와 위치에너지의 합이 같다. 즉, 역학적 에너지가 보존된다.
- 수식화(1)
1/2mv^2 + mgh = k(상수) [공을 던졌더니 역학적 에너지가 보존되었다]
- 미분으로 엑기스 추출(1)
mvdv/dt + mgv = 0 [위 식을 시간(t)로 미분]
mdv/dt = -mg [정리]
- 생활 속 현상관찰(2)
공을 떨어뜨렸더니 속도의 가속도는 일정하다.
- 수식화(2)
v = -gt + v(1)[가속도는 일정하다]
- 미분으로 엑기스 추출(2)
dv/dt = -g [위 식을 시간(t)로 미분] mdv/dt = -mg [정리]
두 가지 다른 현상을 관찰하고 수식으로 만들어 냈다. 그러나 미분을 해본결과 알게 된 과학적 사실은 일치한다. 이런 원리 또한 미분의 가정(부분은 전체를 포함한다)에 부합하는 것이다. 어느 부분을 관찰하고 미분하든 전체에 대한 성질은 같게 나오기 때문이다.
적분도 이와 같은 원리로 생각할 수 있다. 적분은 반대로 추가적인 정보를 제공한다. 이때, 추가되는 정보가 질량과 속도에 관한 것으로 국한시키기 위해 의 양변에 av를 곱한 다음 t에 대해 적분하면 mv^4/8 + mg^2h^2/2 = kas가 나온다. 적분을 할수록 더 고차원적인 개념에 대한 정보가 나오기에 이를 아직 해석할 순 없다. 즉, h를 적분했을 시 1/2h^2으로 표현하지 않고 h를 t에 대해 적분한 어떠한 t에 대한 3차식을 나타낼 수 있는 한 가지 문자로 표현했을 시에야 비로소 새로운 정보를 해독할 수 있게 되는 것이다.