렝글라트의 부등식

확률의 수학적 이론에서 렝글라트의 불균등은 1977년 에리크 렝글라트에 의해 증명되었다.[1] 나중에 약간의 수정을 렝글라트의 불균등이라고도 한다

서술

X를 음이 아닌 우측 연속으로 두십시오. ${\mathcal {F}}_{t}$-수정 프로세스 및 G 를 음이 아닌 우측 연속 비감소 예측 가능한 프로세스로서 다음과 같이 한다 $\mathbb {E} [X(\tau )\mid {\mathcal {F}}_{0}]\leq \mathbb {E} [G(\tau )\mid {\mathcal {F}}_{0}]<\infty$ 제한적인 정지 시간 동안 그러면. $\tau$

(i) $\forall c,d>0,\mathbb {P} \left(\sup _{t\geq 0}X(t)>c\,{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right)\leq {\frac {1}{c}}\mathbb {E} \left[\sup _{t\geq 0}G(t)\wedge d\,{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]+\mathbb {P} \left(\sup _{t\geq 0}G(t)\geq d\,{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right).$

(ii) $\forall p\in (0,1),\mathbb {E} \left[\left(\sup _{t\geq 0}X(t)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq c_{p}\mathbb {E} \left[\left(\sup _{t\geq 0}G(t)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right],{\text{ where }}c_{p}:={\frac {p^{-p}}{1-p}}$.

메모들

1.^ 테오렘 1세 및 코롤레어 2세 참조 Lenglart, Érik (1977). “Relation de domination entre deux processus”. 《Annales de l'I. H. P., section B》 13 (2): 171−179. 

참고 문헌 목록

• Geiss, Sarah; Scheutzow, Michael (2021). “Sharpness of Lenglart's domination inequality and a sharp monotone version”. 《Electronic Communications in Probability》 26: 1–8. arXiv:2101.10884. doi:10.1214/21-ECP413. S2CID 231709277. 
• Lenglart, Érik (1977). “Relation de domination entre deux processus”. 《Annales de l'I. H. P., section B》 13 (2): 171−179. 
• Mehri, Sima; Scheutzow, Michael (2021). “A stochastic Gronwall lemma and well-posedness of path-dependent SDEs driven by martingale noise”. 《Latin Americal Journal of Probability and Mathematical Statistics》 18: 193−209. doi:10.30757/ALEA.v18-09. S2CID 201660248. 
• Ren, Yaofeng; Schen, Jing (2012). “A note on the domination inequalities and their applications”. 《Statist. Probab. Lett.》 82 (6): 1160−1168. doi:10.1016/j.spl.2012.03.002. 
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). 《Continuous Martingales and Brownian Motion》. Berlin: Springer. ISBN 3-540-64325-7.