기하광학

기하광학(幾何光學, Geometrical optics) 또는 광선광학(ray optics)은 빛의 전파를 광선의 관점에서 설명하는 광학의 모델이다. 기하광학에서의 광선은 특정 상황에서 빛이 전파되는 경로를 근사하는 데 유용한 추상화이다.

기하광학의 단순화된 가정에는 빛 광선이 다음과 같이 행동한다는 점이 포함된다:

• 균질한 매질 내에서 여행할 때 직선 경로로 전파된다.
• 성질이 다른 두 광학 매질 사이의 계면에서 굴절하며, 특정한 상황에서는 둘로 갈라질 수 있다.
• 굴절률이 변하는 매질 내에서 곡선 경로를 따른다.
• 흡수되거나 반사될 수 있다.

기하광학은 물리광학에서 다루는 회절이나 간섭과 같은 특정한 광학적 효과를 설명하지 않는다. 이러한 단순화는 실제 상황에서 유용한데, 빛이 상호작용하는 구조의 크기에 비해 파장이 작을 때 매우 훌륭한 근사가 되기 때문이다. 이 기술은 광학 수차를 포함하여 영상 형성의 기하학적 측면을 설명하는 데 특히 유용하다.

설명

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빛이 공간을 통과할 때 진폭이 진동한다. 이 그림에서 각 최대 진폭 마루는 파면을 설명하기 위해 평면으로 표시되어 있다. 광선은 이러한 평행한 표면들에 수직인 화살표이다.

빛 광선은 빛의 파면에 수직인 직선 또는 곡선이다(따라서 파수 벡터와 공선을 이룬다). 빛 광선에 대한 좀 더 엄밀한 정의는 페르마의 원리로부터 도출되는데, 이 원리는 빛 광선이 두 점 사이를 이동할 때 가장 적은 시간이 걸리는 경로를 택한다는 것이다.

기하광학은 종종 근축 근사 또는 "소각 근사"를 통해 단순화된다. 이 경우 수학적 거동은 선형이 되어, 광학 부품과 시스템을 간단한 행렬로 설명할 수 있게 된다. 이는 가우스 광학 및 근축 광선 추적 기법으로 이어지며, 물체와 영상의 대략적인 위치 및 배율과 같은 광학계의 기본 특성을 찾는 데 사용된다.

반사

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정반사의 도식

거울과 같이 광택이 있는 표면은 단순하고 예측 가능한 방식으로 빛을 반사한다. 이를 통해 공간의 실제(실상) 위치 또는 추정된(허상) 위치와 연관될 수 있는 반사 영상을 생성할 수 있다.

이러한 표면에서 반사 광선의 방향은 입사 광선이 표면 법선(광선이 닿는 지점에서 표면에 수직인 선)과 이루는 각도에 의해 결정된다. 입사 광선과 반사 광선은 하나의 평면에 놓여 있으며, 반사 광선과 법선 사이의 각도는 입사 광선과 법선 사이의 각도와 같다. 이것을 반사의 법칙이라고 한다.

평면 거울의 경우, 반사의 법칙에 따라 물체의 상은 똑바로 서 있으며(정립), 물체가 거울 앞에 떨어진 거리만큼 거울 뒤에 위치한다. 상의 크기는 물체의 크기와 같다. (평면 거울의 배율은 1이다.) 또한 이 법칙은 거울상이 패리티 반전됨을 의미하며, 이는 좌우 반전으로 인식된다.

곡면 거울은 각 표면 지점에서 반사의 법칙을 사용하고 광선 추적을 함으로써 모델링할 수 있다. 포물선 표면을 가진 거울의 경우, 거울에 입사하는 평행 광선은 공통된 초점에 모이는 반사 광선을 생성한다. 다른 곡면들도 빛을 모을 수 있지만, 퍼지는 모양 때문에 초점이 공간상에서 흩어지는 수차가 발생할 수 있다. 특히 구면 거울은 구면수차를 나타낸다. 곡면 거울은 1보다 크거나 작은 배율의 상을 형성할 수 있으며, 상은 정립되거나 뒤집힐(도립) 수 있다. 거울 반사에 의해 형성된 정립상은 항상 허상인 반면, 도립상은 실상이며 스크린에 투영될 수 있다.

굴절

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스넬의 법칙의 도해

굴절은 빛이 굴절률이 변하는 공간 영역을 통과할 때 발생한다. 굴절의 가장 단순한 경우는 굴절률이 $n_{1}$인 균질한 매질과 굴절률이 $n_{2}$인 다른 매질 사이의 계면이 있을 때이다. 이러한 상황에서 스넬의 법칙은 빛 광선의 굴절을 다음과 같이 설명한다: $$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$$ 여기서 $\theta _{1}$과 $\theta _{2}$는 각각 (계면의) 법선과 입사파 및 굴절파 사이의 각도이다. 이 현상은 위에서 제공된 굴절률의 정의에서 볼 수 있듯이 변화하는 빛의 속력과도 관련이 있으며 다음과 같이 나타낼 수 있다: $$v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}$$ 여기서 $v_{1}$과 $v_{2}$는 각 매질을 통과하는 파동의 속력이다.

스넬의 법칙에서 파생되는 여러 결과 중 하나는, 높은 굴절률의 물질에서 낮은 굴절률의 물질로 여행하는 빛 광선의 경우 계면과의 상호작용으로 인해 투과가 전혀 발생하지 않을 수 있다는 점이다. 이 현상을 전반사라고 하며 광섬유 기술을 가능하게 한다. 빛 신호가 광섬유 케이블을 따라 이동할 때 전반사를 일으켜 케이블 길이에 걸쳐 빛 손실이 거의 없게 된다. 반사와 굴절의 조합을 사용하여 평면 편광된 광선을 생성하는 것도 가능하다. 굴절 광선과 반사 광선이 직각을 이룰 때, 반사 광선은 "평면 편광"의 특성을 갖는다. 이러한 시나리오에 필요한 입사각을 브루스터 각이라고 한다.

스넬의 법칙은 굴절률과 매질의 기하학적 구조를 알 수 있다면 "선형 매질"을 통과하는 빛 광선의 굴절을 예측하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 프리즘을 통한 빛의 전파는 프리즘의 모양과 방향에 따라 빛 광선이 굴절되는 결과를 낳는다. 또한 대부분의 물질에서 빛의 주파수에 따라 굴절률이 약간씩 다르기 때문에, 굴절을 이용해 무지개처럼 나타나는 분산 스펙트럼을 생성할 수 있다. 프리즘을 통과할 때 발생하는 이 현상의 발견은 유명하게도 아이작 뉴턴의 업적으로 돌려진다.

일부 매질은 위치에 따라 점진적으로 변하는 굴절률을 가지며, 따라서 빛 광선은 직선으로 이동하는 대신 매질 내에서 휘어진다. 이 효과는 뜨거운 날 공기의 변화하는 굴절률이 빛 광선을 휘게 하여 멀리서 (마치 물웅덩이 표면처럼) 정반사가 일어나는 것처럼 보이게 만드는 신기루의 원인이 된다. 변화하는 굴절률을 가진 물질을 굴절률 분포(gradient-index, GRIN) 물질이라고 하며, 복사기 및 스캐너를 포함한 현대의 광학 스캐닝 기술에 사용되는 많은 유용한 특성을 가지고 있다. 이 현상은 굴절률 분포형 광학(gradient-index optics) 분야에서 연구된다.

단순 수렴 렌즈의 광선 추적 도식

굴절을 통해 수렴하거나 발산하는 빛 광선을 만드는 장치를 렌즈라고 한다. 얇은 렌즈는 양쪽에 초점을 형성하며, 이는 렌즈 제작자 공식(lensmaker's equation)을 사용하여 모델링할 수 있다. 일반적으로 두 종류의 렌즈가 존재한다. 평행한 빛 광선을 수렴하게 하는 볼록 렌즈와 평행한 빛 광선을 발산하게 하는 오목 렌즈이다. 이들 렌즈에 의해 영상이 생성되는 방식에 대한 상세한 예측은 곡면 거울과 유사한 광선 추적을 통해 이루어질 수 있다. 곡면 거울과 마찬가지로 얇은 렌즈는 특정 초점 거리($f$)와 물체 거리 ($S_{1}$)가 주어졌을 때 상의 위치를 결정하는 간단한 공식을 따른다: $${\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}$$ 여기서 $S_{2}$는 상과 관련된 거리이며, 관례상 물체와 같은 쪽에 있으면 음수, 반대쪽에 있으면 양수로 간주한다. 초점 거리 f는 오목 렌즈의 경우 음수로 간주된다.

들어오는 평행 광선은 볼록 렌즈에 의해 렌즈 너머 초점 거리만큼 떨어진 곳에서 뒤집힌 실상으로 모인다.

들어오는 평행 광선은 볼록 렌즈에 의해 렌즈 너머 초점 거리만큼 떨어진 곳에서 뒤집힌 실상으로 모인다.

유한한 거리에 있는 물체로부터의 광선은 초점 거리보다 더 먼 곳에 모인다. 물체가 렌즈에 가까울수록 상은 렌즈에서 더 멀어진다. 오목 렌즈의 경우, 들어오는 평행 광선은 렌즈를 통과한 후 발산하며, 마치 평행 광선이 접근하는 쪽과 같은 방향의 초점 위치에 있는 정립 허상에서 나온 것처럼 보인다.

오목 렌즈의 경우, 들어오는 평행 광선은 렌즈를 통과한 후 발산하며, 마치 평행 광선이 접근하는 쪽과 같은 방향의 초점 위치에 있는 정립 허상에서 나온 것처럼 보인다.

유한한 거리에 있는 물체로부터의 광선은 초점 거리보다 렌즈에 더 가깝고 물체와 같은 쪽에 있는 허상과 연관된다. 물체가 렌즈에 가까울수록 허상도 렌즈에 가까워진다.

유한한 거리에 있는 물체로부터의 광선은 초점 거리보다 렌즈에 더 가깝고 물체와 같은 쪽에 있는 허상과 연관된다.

마찬가지로 렌즈의 배율은 다음과 같이 주어진다: $$M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}$$ 여기서 음수 부호는 관례적으로 양수 값일 때 정립된 물체를, 음수 값일 때 도립된 물체를 나타내기 위해 붙여진다. 거울과 마찬가지로 단일 렌즈에 의해 생성된 정립상은 허상인 반면 도립상은 실상이다.

렌즈는 영상과 초점을 왜곡하는 광학 수차를 겪는다. 이는 기하학적 불완전성뿐만 아니라 빛의 파장에 따라 달라지는 굴절률(색수차) 때문에 발생한다.

기초 수학

수학적 연구로서 기하광학은 쌍곡형 편미분 방정식 해의 짧은 파장 극한(조머펠트-룽게 방법)이나 맥스웰 방정식에 따른 장 불연속면의 전파 특성(루네부르크 방법)으로 나타난다. 이 짧은 파장 극한에서 해를 국부적으로 다음과 같이 근사할 수 있다: $$u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}$$ 여기서 $k,\omega$는 분산 관계를 만족하며, 진폭 $a(t,x)$는 서서히 변한다. 더 정확하게는 최고차항 해는 다음과 같은 형태를 취한다. $$a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.$$ 위상 $\varphi (t,x)/\varepsilon$은 선형화되어 큰 파수 $k:=\nabla _{x}\varphi$와 주파수 ${\displaystyle \omega$ :=-\partial _{t}\varphi } 를 얻을 수 있다. 진폭 $a_{0}$는 수송 방정식을 만족한다. 작은 매개변수 $\varepsilon \,$은 고도로 진동하는 초기 조건 때문에 등장한다. 따라서 초기 조건이 미분 방정식의 계수보다 훨씬 빠르게 진동할 때, 해는 고도로 진동하며 광선을 따라 수송된다. 미분 방정식의 계수가 매끄럽다고 가정하면 광선도 매끄러울 것이다. 다시 말해, 굴절이 일어나지 않는다. 이 기술의 동기는 짧은 파장의 빛이 여행 시간을 (대략) 최소화하는 광선을 따라 이동하는 일반적인 빛 전파 시나리오를 연구하는 데서 온다. 이를 완전히 적용하기 위해서는 미시적 국소 분석의 도구가 필요하다.

조머펠트-룽게 방법

파장을 0으로 보내는 극한을 취하여 기하광학 방정식을 얻는 방법은 1911년 아르놀트 조머펠트와 J. 룽게에 의해 처음으로 설명되었다. 그들의 유도는 피터 디바이의 구두 언급에 기초했다. 단색 스칼라장 $\psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}$을 고려하자. 여기서 $\psi$는 전기장 또는 자기장의 성분 중 하나가 될 수 있으며, 따라서 함수 $\phi$는 파동 방정식을 만족한다. $$\nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0$$ 여기서 $k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}$이며 $c$는 진공에서의 빛의 속력이다. 여기서 $n(\mathbf {r} )$은 매질의 굴절률이다. 일반성을 잃지 않고 방정식을 변환하기 위해 $\phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}$를 도입하면 다음과 같다. $$-k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.$$

기하광학의 근본 원리는 극한 $\lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0$에 있으므로, 다음과 같은 점근 급수를 가정한다. $$A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}$$

크지만 유한한 $k_{o}$ 값에 대해 이 급수는 발산하므로, 적절한 처음 몇 개의 항만 유지하도록 주의해야 한다. 각 $k_{o}$ 값에 대해 유지해야 할 최적의 항 수를 찾을 수 있으며, 최적의 수보다 더 많은 항을 추가하면 근사가 더 나빠질 수 있다. 급수를 방정식에 대입하고 차수별로 항을 모으면 다음을 얻는다. $${\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}$$ 일반적으로, $$O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.$$

첫 번째 방정식은 아이코날 방정식(eikonal equation)으로 알려져 있으며, 아이코날 $S(\mathbf {r} )$을 결정하는 해밀턴-야코비 방정식이다. 예를 들어 데카르트 좌표계에서는 다음과 같이 된다. $$\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.$$

나머지 방정식들은 함수 $A_{m}(\mathbf {r} )$을 결정한다.

루네부르크 방법

맥스웰 방정식 해의 불연속면을 분석하여 기하광학 방정식을 얻는 방법은 1944년 루돌프 카를 루네부르크에 의해 처음 설명되었다. 이 방법은 전자기장이 진폭 $A(k_{o},\mathbf {r} )$과 위상 $S(\mathbf {r} )$이 ${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$을 만족해야 한다고 가정하는 조머펠트-룽게 방법에서 요구하는 특별한 형태를 갖도록 제한하지 않는다. 이 조건은 평면파 등에서는 만족되지만 가산적이지는 않다.

루네부르크 접근법의 주요 결론은 다음과 같다:

정리. 장 $\mathbf {E} (x,y,z,t)$와 $\mathbf {H} (x,y,z,t)$가 (유전 상수 $\varepsilon (x,y,z)$와 투자율 $\mu (x,y,z)$로 설명되는 선형 등방성 매질 내에서) 방정식 $\psi (x,y,z)-ct=0$으로 정의되는 $\mathbf {R} ^{3}$의 (움직이는) 표면을 따라 유한한 불연속성을 갖는다고 가정하자. 그러면 적분 형태의 맥스웰 방정식은 $\psi$가 아이코날 방정식을 만족함을 의미한다: $$\psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},$$ 여기서 $n(x,y,z)$은 매질의 굴절률이다(가우스 단위계).

이러한 불연속면의 예는 특정 시점에 방사를 시작하는 소스에서 나오는 초기 파면이다.

이러한 장 불연속면은 기하광학 파면이 되며, 이에 대응하는 기하광학 장은 다음과 같이 정의된다: $${\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}$$

이러한 장들은 조머펠트-룽게 접근법의 수송 방정식과 일치하는 수송 방정식을 따른다. 루네부르크 이론에서 빛 광선은 불연속면에 직교하는 궤적으로 정의되며, 이 광선들이 페르마의 원리를 따름을 보임으로써 표준 광학의 빛 광선과 동일함을 입증할 수 있다.

위의 전개는 이방성 매질로 일반화될 수 있다.

루네부르크 정리의 증명은 맥스웰 방정식이 해의 불연속성 전파를 어떻게 제어하는지 조사하는 것에 기초한다. 기본 기술 보조정리는 다음과 같다:

기술 보조정리. $\varphi (x,y,z,t)=0$을 시공간 $\mathbf {R} ^{4}$에서의 초곡면(3차원 다양체)이라 하고, 이 위에서 $\mathbf {E} (x,y,z,t)$, $\mathbf {H} (x,y,z,t)$, $\varepsilon (x,y,z)$, $\mu (x,y,z)$ 중 하나 이상이 유한한 불연속성을 갖는다고 하자. 그러면 초곡면의 각 지점에서 다음 공식이 성립한다: $${\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}$$ 여기서 $\nabla$ 연산자는 $xyz$ 공간에서 작용하며(고정된 $t$에 대해), 대괄호는 불연속면 양쪽의 값 차이를 나타낸다(임의로 고정된 관례에 따라 설정됨, 예: 그레이디언트 $\nabla \varphi$가 가리키는 방향의 값에서 반대쪽 값을 뺀 것).

증명 개요. 소스가 없는 곳에서의 맥스웰 방정식에서 시작한다(가우스 단위계): $${\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}$$

$\mathbf {R} ^{4}$에서의 스토크스 정리를 사용하면 위의 첫 번째 방정식으로부터 조각마다 매끄러운 (3차원) 경계 $\Gamma$를 가진 $\mathbf {R} ^{4}$의 임의의 영역 $D$에 대해 다음이 참임을 결론지을 수 있다: $$\oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0$$ 여기서 $\mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})$은 $\Gamma$의 외향 단위 법선 $(x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})$을 3D 단면 $t={\rm {const}}$에 투영한 것이고, $dS$는 $\Gamma$ 위의 부피 3-형식이다. 유사하게 나머지 맥스웰 방정식으로부터 다음을 확립한다: $${\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}$$

이제 $\Gamma$의 임의의 작은 부분 표면 $\Gamma _{0}$를 고려하고 $\mathbf {R} ^{4}$에서 $\Gamma _{0}$를 둘러싼 작은 이웃을 설정하여 위의 적분을 적절히 빼면 다음을 얻는다: $${\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}$$ 여기서 $\nabla ^{4D}$는 4D $xyzt$ 공간에서의 그레이디언트를 나타낸다. $\Gamma _{0}$가 임의적이므로 피적분 함수는 0이어야 하며, 이는 보조정리를 증명한다.

연속 매질을 통해 전파될 때 불연속면이 아이코날 방정식을 따른다는 것을 이제 쉽게 보일 수 있다. 구체적으로 $\varepsilon$과 $\mu$가 연속이면 $\mathbf {E}$와 $\mathbf {H}$의 불연속성은 $[\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]$ 및 $[\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]$를 만족한다. 이 경우 보조정리의 마지막 두 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다:

$${\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}$$

두 번째 방정식과 $\nabla \varphi$의 외적을 취하고 첫 번째 방정식을 대입하면 다음을 얻는다: $$\nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0$$

$\mu$의 연속성과 보조정리의 두 번째 방정식은 $\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0$을 의미하므로, 표면 $\varphi =0$ 위에 있는 지점들에 대해서만 다음이 성립한다: $$\|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}$$

(그렇지 않으면 0으로 나누게 되므로 이 단계에서 불연속성의 존재가 필수적임에 유의하라.)

물리적 고려 사항으로 인해 일반성을 잃지 않고 $\varphi$가 다음과 같은 형태라고 가정할 수 있다: $\varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct$, 즉 $\psi$의 등위면으로 모델링된 공간을 이동하는 2D 표면이다. (수학적으로 $\varphi _{t}\neq 0$이면 음함수 정리에 의해 $\psi$가 존재한다.) $\psi$에 대해 위의 방정식을 쓰면 다음과 같다: $$\|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}$$ 즉, $$\psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}$$ 이는 아이코날 방정식이며, 변수 $t$가 없으므로 모든 $x$, $y$, $z$에 대해 성립한다. 스넬의 법칙이나 프레넬 공식과 같은 다른 광학 법칙들도 $\varepsilon$과 $\mu$의 불연속성을 고려함으로써 유사하게 얻을 수 있다.

사차원 벡터 표기법을 사용한 일반 방정식

특수 상대성이론에서 사용되는 사차원 벡터 표기법에서 파동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0$$

그리고 대입 $\psi =Ae^{iS/\varepsilon }$은 다음으로 이어진다. $$-{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.$$

따라서 아이코날 방정식은 다음과 같이 주어진다. $${\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.$$

위의 방정식을 풀어 아이코날을 찾으면, 파동 사차원 벡터를 다음으로부터 찾을 수 있다. $$k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.$$

외부 링크

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