베주 항등식

수론에서, 베주 항등식(영어: Bézout’s identity)은 두 정수의 최소공배수를 원래 두 수의 배수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리다.

정의

주 아이디얼 정역 $R$ 속의 원소 $a,b\in R$가 주어졌고, $d$가 $a$와 $b$의 최소공배수의 하나라고 하자.

그렇다면, 다음 등식을 성립하게 하는 원소 $m,n\in R$가 존재한다.

$ma+nb=d$

증명

$R$가 주 아이디얼 정역이라고 하고, $a,b\in R$라고 하며 $d\in R$가 그 최소공배수의 하나라고 하자. 최소공배수의 정의에 따라

$Ra+Rb\supset Rd$

이다. 반면, $R$가 주 아이디얼 정역이므로 아이디얼 $Ra+Rb$는 주 아이디얼이다. 크룰 높이 정리에 따라, 주 아이디얼 $Ra+Rb$의 높이는 1이다. 즉, $Ra+Rb$의 진부분 아이디얼은 영 아이디얼 밖에 없다. 따라서

$Ra+Rb=Rd$

이며,

$ma+nb=d$

인 $m,n\in R$가 존재한다.

역사

에티엔 베주가 증명하였다.

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bézout's identity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bézout numbers”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.