동역학계

동역학계(動力學系, dynamical system)는 수학 또는 물리학의 한 분야로서 시간에 따른 움직임의 과정으로 정의된다. 현대적 의미에서의 동역학계 연구는 미국의 수학자 조지 데이비드 버코프에서 시작된다. 오늘날 동역학계 연구는 주로 수학 분야에서 다뤄지고 있으나 실제로 수론, 추계학, 동역학, 생물학등 광범위하게 적용되고 있다.

일반적으로 시공간변화에 따라 이산과 연속체로 구별된다. 즉, 이산적 역학계(Discrete Dynamical System)와 연속적 역학계(Continuum Dynamical System)로 나뉘어 연구되고 있다. 일반적으로 미분방정식에서 연속적 역학계를 다루고 있으며, 위상수학에서 이산적, 연속적 역학계를 모두 다루고 있다. 특히, 이 두가지를 혼합하여 연구하는 경우 연속-이산적 역학계 또는 혼합 역학계(Hybrid Dynamical System)로 표현되고 있다.

정의

역학계는 일반적으로 공집합이 아닌 시공간 또는 상태공간 집합 $X$ 에서, $T=\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} ,\mathbb {R} _{0}^{+}$ 또는 $\mathbb {R}$ 로 부터의 튜플 $(T,X,f)$ 이고, $X$ 에서 $T$ 의 연산 $f\colon \,T\times X\to X$ 에 대해 모든 상태 $x\in X$ 그리고 모든 시공간 $t_{1},t_{2}\in T$ 에서 다음이 성립된다:

$f(0,x)=x$ (동일성)
$f(t_{2},f(t_{1},x))=f(t_{2}+t_{1},x)$ (반집합성)

$T=\mathbb {N} _{0}$ 또는 $T=\mathbb {Z}$ 일 때, $(T,X,f)$ 는 시간이산적 또는 이산적, 그리고 $T=\mathbb {R} _{0}^{+}$ 또는 $T=\mathbb {R}$ 이면, $(T,X,f)$ 을 시간연속적 또는 연속적이라 한다. 그밖에 $T=\mathbb {Z}$ 또는 $T=\mathbb {R}$ 이면, $(T,X,f)$ 는 실시간적 또는 가역적이라 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대해 자취 $\beta _{x}\colon \,T\to X,\,t\mapsto \beta _{x}(t):=f(t,x)$ 는 $x=\beta _{x}(0)$ 의 움직임, 그리고 집합 $O(x):=\{\beta _{x}(t)\mid t\in T\}$ 는 $x$ 의 궤도라 한다. 그리고 $(T,X,f)$ 이 가역적일 때, $x$ 의 양의 반궤도는 $O^{+}(x):=\{\beta _{x}(t)\mid t\in T\cap \mathbb {R} _{0}^{+}\}$ 이고, $O^{-}(x):=\{\beta _{x}(t)\mid -t\in T\cap \mathbb {R} _{0}^{+}\}$ 는 음의 반궤도가 된다.

상태 공간 $X$ 이 공집합이 아닌 거리 공간이고, 각 시점 $t\in T$ 이 $\varphi _{t}\colon \,X\to X,\,x\mapsto \varphi _{t}(x):=f(t,x)$ 을 갖는 변환 $\varphi _{t}\colon \,X\to X,\,x\mapsto \varphi _{t}(x):=f(t,x)$ 이 연속일 때, 이산적 역학계 $(T,X,f)$ 는 연속이다. 상태 공간 $X$ 이 거리 공간이고, 각 시점을 갖는 변환 및 각 상태의 움직임이 연속일 때, 연속적 역학계 $(T,X,f)$ 는 연속이다. 이산적 역학계와 연속적 역학계의 연속조건을 모두 만족할 때, 혼합적 역학계라한다.

응용

물리학

미분가능한 유체에서 적용된다.

생물학

질병의 전염성을 다루는 SIR-Model(Susceptible-Infected-Recovered-Model)에서 적용된다.

참고 문헌

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