확률 질량 함수

주사위를 굴릴 때 각 눈의 값에 대한 확률 질량 함수

확률 질량 함수(probability mass function, pmf)는 이산 확률 변수에서 특정 값에 대한 확률을 나타내는 함수이다. 이 함수는 연속 확률 변수에서의 확률 밀도 함수와 대응된다.

예를 들어, 주사위를 한 번 굴릴 때의 값을 나타내는 확률 변수가 $X$일 때, 이 확률 변수에 대응되는 확률 질량 함수는 $f_X(x) = 1/6$이다.

수학적 기술

확률 변수 $X: S \to \mathbb{R}$가 표본 공간 (sample space) $S$에 의해 정의되는 이산 확률 변수일 때, 확률 질량 함수 $f_X(x): \mathbb{R} \to [0,1]$는

$f_X(x) = \Pr(X = x) = \Pr(\{s \in S: X(s) = x\})$

이다.

예제

동전을 한 번 던졌을 때 모든 결과의 샘플 공간을 $S$라 하고, $S$에 의해 정의되는 랜덤 변수를 $X$라고 가정하자. $X$는 앞면이 나오면 1이고 뒷면이 나오면 0이다. 코인의 각 면이 나올 확률은 같으므로 확률 질량 함수는 다음과 같다.

$f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \notin \{0, 1\}.\end{cases}$