준층의 극한과 여극한

범주론에서 범주 $C$에 대한 준층의 극한 또는 여극한은 함자 범주 ${\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )$의 극한 또는 여극한이다.

범주 ${\widehat {C}}$는 작은 극한들과 작은 여극한들을 인정한다. 명시적으로, 만약 $f:I\to {\widehat {C}}$ 가 작은 범주 $I$에서 정의된 함자고, $U$는 $C$의 대상이면, $\varinjlim _{i\in I}f(i)$는 점별로 계산된다.

$(\varinjlim f(i))(U)=\varinjlim f(i)(U).$

이는 작은 극한에 대해서도 마찬가지이다. 구체적으로 이것은, 예를 들어, 올 곱이 존재하고 점별로 계산됨을 의미한다.

$C$가 작은 경우 요네다 보조정리에 따라 $C$를 ${\widehat {C}}$의 꽉찬 부분 범주로 볼 수 있다. 만약 $\eta :C\to D$가 함자이고 $f:I\to C$가 작은 범주 $I$에서 정의된 함자이고 ${\widehat {C}}$ 안의 여극한 $\varinjlim f$가 표현가능하면, 즉, $C$의 한 대상과 동형이면, $D$ 안에서,

$\eta (\varinjlim f)\simeq \varinjlim \eta \circ f.$

(특히 오른쪽 여극한은 $D$에 존재한다. )

밀도 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다.

참고 문헌

• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). 《Categories and sheaves》.