요네다 보조정리

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범주론에서, 요네다 보조정리([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주집합의 범주에 묻는 함자에 대한 보조정리다. 군론케일리의 정리(Cayley’s theorem)를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학표현론에서 중요하게 쓰인다.

정의[편집]

\mathcal C국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 A\in\mathcal C에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다.

\hom(A,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}
\hom(A,-)\colon B\mapsto\hom(A,B)

함자 F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상 A\in\mathcal C에 대하여, 다음 두 집합들이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.

이 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

\Phi\mapsto\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)

이 보조정리는 다음과 같은 가환 그림으로 나타내어진다.

YonedaLemma-02.png

요네다 보조정리는 이 가환 그림으로부터 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 쉽게 증명할 수 있다.

마찬가지로, 다음과 같은 두 집합들이 표준적으로 일대일 대응한다. 임의의 함자 F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}^{\operatorname{op}} 및 대상 A\in\mathcal C에 대하여,

이를 둘 다 일반화하면, 다음과 같은 함자가 존재하는 것을 알 수 있다.

\hom(-,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}
\hom(-,-)\colon A\mapsto\hom(A,-)

이를 요네다 매장(영어: Yoneda embedding)이라고 한다.

역사[편집]

일본의 수학자 요네다 노부오(일본어: 米田 信夫 (よねだ のぶお))가 1954년에 발표하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Nobuo, Yoneda (1954년). On the homology theory of modules. 《Journal of the Faculty of Science of the University of Toyko. Section I》 7: 193-227. Zbl 0058.01902.

바깥 고리[편집]