준동형사상의 기본정리

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준동형사상의 기본정리(準同型寫像-基本定理, 영어: fundamental theorem on homomorphisms)는 수학의 여러 분야에서 나타나는 준동형사상에 관한 기초적인 정리이다. 동형 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다.

정의[편집]

같은 형의 대수적 구조 AB 및 그 사이의 준동형사상 \phi\colon A\to B가 주어졌다고 하자. 그렇다면 A 위에 합동 관계 \sim_\phi

a\sim_\phi a'\iff\phi(a)=\phi(a')\;\forall a,a'\in A

로 정의할 수 있다. \sim_\theta\sim_\phi보다 더 고른 A 위의 합동 관계라고 하자. 즉,

a\sim_\theta a'\implies a\sim_\phi a'

라고 하자. 또한, \theta\colon A\to A/\sim_\theta가 자연스러운 몫 준동형사상이라고 하자. 준동형사상의 기본정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

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이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수적 구조에 대하여 성립한다.

군에 대한 형태[편집]

군 준동형사상 \phi\colon G\to H정규부분군 K\vartriangleleft G가 있고, K\le\ker\phi라고 하자. \theta\colon G\to G/K가 몫 준동형사상이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.[1]

  • \chi\circ\theta=\phi군 준동형사상 \chi\colon G/K\to H가 유일하게 존재한다.
  • 만약 \phi가 전사함수라면 \chi 역시 전사함수이다.
  • 만약 K=\ker\phi라면, \chi는 단사함수이다.

환에 대한 형태[편집]

환 준동형사상 \phi\colon R\to SR아이디얼 \mathfrak a\subset R가 있고, \mathfrak a\subset\phi^{-1}(0)이라고 하자. 또한, \theta\colon R\to R/\mathfrak a가 몫 준동형사상이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  • \chi\circ\theta=\phi환 준동형사상 \chi\colon R/\mathfrak a\to S가 유일하게 존재한다.
  • 만약 \phi가 전사함수라면 \chi 역시 전사함수이다.
  • 만약 \mathfrak a=\phi^{-1}(0)이라면, \chi는 단사함수이다.

가군에 대한 형태[편집]

R의 좌가군 M,N 사이의 가군 준동형사상 \phi\colon M\to NM의 부분가군 P\subset M가 있고, P\subset\phi^{-1}(0)이라고 하자. 또한, \theta\colon M\to M/P가 몫 준동형사상이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  • \chi\circ\theta=\phi인 가군 준동형사상 \chi\colon M/P\to N이 유일하게 존재한다.
  • 만약 \phi가 전사함수라면 \chi 역시 전사함수이다.
  • 만약 P=\phi^{-1}(0)이라면, \chi는 단사함수이다.

참고 문헌[편집]

  1. Joseph A. Gallian (2006), Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company(Boston, New York), p.206.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]