정의 가능 집합

모형 이론에서 정의 가능 집합(定義可能集合, 영어: definable set)은 어떤 주어진 언어의 모형 속의, 어떤 술어를 만족시키는 원소들로 구성된 부분 집합이다.

정의

1차 논리 언어 ${\mathcal {L}}$에 대한 모형 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$의 부분 집합 $A\subseteq M$이 다음 조건을 만족시킨다면, $A$를 $M$의 정의 가능 집합이라고 한다.^{:762, §3}

$\{x\in M\colon \phi (m)\}$이 성립하는, 하나의 자유 변수 $x$를 갖는 명제 $\phi (x)$가 존재한다.

성질

언어 ${\mathcal {L}}$의 모형 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, (고전 명제 논리의 경우) $M$의 정의 가능 부분 집합들의 집합족 $\operatorname {Def} (M)\subseteq {\mathcal {P}}(M)$은 불 대수인 멱집합 ${\mathcal {P}}(M)$의 부분 불 대수를 이룬다. 즉,

$M\setminus \{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\lnot \phi )^{M}(x)\}$

$\{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}\cap \{x\in M\colon \chi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\phi \land \chi )^{M}(x)\}$

$\{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}\cup \{x\in M\colon \chi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\phi \lor \chi )^{M}(x)\}$

이다.

자기 동형의 고정점

언어 ${\mathcal {L}}$의 모형 $M$ 및 그 위의 ${\mathcal {L}}$-자기 동형 사상 $\phi \colon M\to M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$의 정의 가능 집합 $A\subseteq M$은 $\phi$의 고정점이다. 즉,

$\phi (A)=\{\phi (a)\colon a\in A\}=A$

이다.

베트 정의 가능성 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 1차 논리 언어 ${\mathcal {L}}$
• ${\mathcal {L}}$에 속하지 않는 술어 ${\mathsf {P}}(-)$. ${\mathcal {L}}$에 ${\mathsf {P}}$를 추가한 언어를 ${\mathcal {L}}_{\mathsf {P}}$라고 하자.
• ${\mathcal {L}}$-문장들의 집합 ${\mathcal {T}}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})$

베트 정의 가능성 정리(영어: Beth definability theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:762, §}

• (명시적 정의 가능성) ${\mathcal {T}}\vdash \forall x({\mathsf {P}}(x)\iff \phi (x))$가 성립하는 ${\mathcal {L}}$-술어 $\phi$가 존재한다.
• (암시적 정의 가능성) ${\mathcal {T}}$의 임의의 모형 $M$에 대하여, $M$을 확장하는 ${\mathcal {L}}_{\mathsf {P}}$-구조는 유일하다.

예

전순서 집합으로서의 자연수

자연수의 전순서 집합의 1차 논리 언어

${\mathcal {L}}_{\text{toset}}=\{\leq \}$

에서, 모든 유한 집합은 정의 가능 집합이다. 예를 들어, 다음과 같은 일련의 술어들을 정의하자.

$\phi _{k}(x)=\forall n\colon \left(n\leq x\implies n=x\lor \phi _{1}(x)\lor \cdots \lor \phi _{k-1}(x)\right)$

그렇다면, 모형 $(\mathbb {N} ,\leq )$에서,

$\{x\in \mathbb {N} \colon \phi _{k}^{\mathbb {N} }(x)\}=\{k\}$

이며, 마찬가지로 모든 유한 집합은

$\phi _{k_{1}}(x)\lor \phi _{k_{2}}(x)\lor \cdots \lor \phi _{k_{p}}(x)$

의 꼴의 술어로 정의할 수 있다.

반면, $\mathbb {N}$의 무한 부분 집합들은 정의 가능 집합이 아닐 수 있다. 사실, $\mathbb {N}$의 정의 가능 집합들의 수는 $\aleph _{0}$이지만 $\mathbb {N}$의 모든 부분 집합들의 수는 $2^{\aleph _{0}}$이므로, $\mathbb {N}$의 대부분의 부분 집합들은 정의 가능 집합이 아니다.

반환으로서의 자연수

반환의 1차 논리 언어

${\mathcal {L}}_{\text{semiring}}=\{0,1,+,\cdot \}$

를 생각하자. 자연수의 반환 $\mathbb {N}$은 이 언어의 모형을 이룬다. 반환의 언어로 정의 가능한 $\mathbb {N}$의 부분 집합을 산술 집합(영어: arithmetical set)이라고 한다.

반환의 언어로 자연수의 전순서를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$x\leq y\iff \exists z\colon x+z=y$

따라서, 전순서 집합의 언어로 정의 가능한 자연수 집합은 항상 반환의 언어로도 정의 가능하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

전순서 집합으로서의 정수

정수의 전순서 집합 $(\mathbb {Z} ,\leq )$는 전순서 집합의 1차 논리 언어

${\mathcal {L}}_{\text{toset}}=\{\leq \}$

의 모형이다. 이 경우, $n\mapsto n+1$은 $\mathbb {Z}$의 자기 동형 사상이다. 따라서, $\mathbb {Z}$의 정의 가능 집합들은 이 자기 동형 사상에 대하여 불변이어야 하므로, $\mathbb {Z}$의 정의 가능 집합은 공집합과 $\mathbb {Z}$ 전체 밖에 없다. (이들은 각각 항상 거짓인 술어와 항상 참인 술어를 통해 정의된다.)

역사

베트 정리는 1900년에 알레산드로 파도아(이탈리아어: Alessandro Padoa, 1868~1937)가 최초로 도입하였다. 이후 1953년에 에버르트 빌럼 베트(네덜란드어: Evert Willem Beth, 1908~1964)가 이를 1차 논리에 대하여 재증명하였다.

참고 문헌

• Makkai, Michael (1993). 《Duality and definability in first order logic》. Memoirs of the American Mathematical Society (영어) 503. ISBN 978-0-8218-2565-5. 

외부 링크

• “Beth definability theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Definable set”. 《nLab》 (영어). 
• “Definability”. 《nLab》 (영어). 
• “Beth definability theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Beth’s definability theory”. 《Logicians do it with models: a self-guided jaunt in philosophical logic》 (영어). 2010년 8월 31일. 
• Ravelomanantsoa-Ratsimihah, Joël (2010). “Understanding definability in first-order logic” (PDF) (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수 Ildikó Sain). Közép-európai Egyetem.