야코비-앙거 전개

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

야코비–앙거 전개 (또는 야코비–앙거 등식)는 삼각 함수의 지수 꼴을 조화 함수로 풀어 쓰는 것을 말한다. 물리에서 평면파원통형 파 사이의 전환 시에, 또는 신호 처리에서 주파수 변조(FM) 신호를 서술할 때 쓰인다. 19세기의 수학자 카를 구스타프 야코프 야코비카를 테오도어 앙거의 이름을 딴 것이다.

가장 일반적인 꼴은[1][2]

e^{i z \cos \theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} i^n\, J_n(z)\, e^{i n \theta}

e^{iz \sin \theta} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z) e^{in\theta}

이고, 여기서 J_n(z)n베셀 함수이다. 정수 n에 대해 J_{-n}(z) = (-1)^n\, J_{n}(z)인 관계를 쓰면 위의 식은[1][2]

e^{i z \cos \theta}=J_0(z)\, +\, 2\, \sum_{n=1}^{\infty}\, i^n\, J_n(z)\, \cos\, (n \theta)

로 다시 쓸 수 있다.

다음과 같은 실수 함수 꼴도 자주 쓰인다.[3]


\begin{align}
  \cos(z \cos \theta) &= J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
  \\
  \sin(z \cos \theta) &= -2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n-1}(z) \cos\left[\left(2n-1\right) \theta\right],
  \\
  \cos(z \sin \theta) &= J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
  \\
  \sin(z \sin \theta) &= 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n-1}(z) \sin\left[\left(2n-1\right) \theta\right].
\end{align}

참고 문헌[편집]

  1. David Colton, Rainer Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory (1998), page 32, Applied Mathematical Sciences (Book 93), 2nd. Ed. ISBN 978-3-540-62838-5
  2. A. Cuyt, V. Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W. B. Jones, Handbook of continued fractions for special functions, page 344, Springer (2008), ISBN 978-1-4020-6948-2
  3. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Chapter 9, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720, MR 0167642 p. 361, 9.1.42–45.

외부 링크[편집]