부분정규 부분군

군론에서 부분정규 부분군(部分正規部分群, 영어: subnormal subgroup)은 정규 부분군을 거듭하여 취하여 얻을 수 있는 부분군이다.

정의

군 $G$의 부분군 $H\leq G$에 대하여,

$H=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G$

인 $G$의 부분군의 열 $(H_{0},H_{1},\dots ,H_{n})$이 존재한다면, $H$를 $G$의 부분정규 부분군이라고 한다. 이는

$H\vartriangleleft \vartriangleleft G$

로 표기한다.

성질

부분정규 부분군 관계는 자명하게 추이적이다. (반면, 정규 부분군의 정규 부분군은 정규 부분군이 아닐 수 있다.) 유한 개의 부분정규 부분군의 교집합은 부분정규 부분군이다. 군 $G$의 부분정규 부분군들의 (포함 관계에 따른) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건을 만족시킨다면 (예컨대 유한군이나 뇌터 군은 이를 만족한다), $G$의 유한 개의 부분정규 부분군 $H_{1},\dots ,H_{n}\vartriangleleft \vartriangleleft G$을 포함하는 최소의 부분군 $\langle H_{1}\cup \cdots \cup H_{n}\rangle \vartriangleleft \vartriangleleft G$은 부분정규 부분군이다.

유한군 $G$ 및 부분군 $H\leq G$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $H$는 $G$의 부분정규 부분군이다.
• (케겔-빌란트 추측, 영어: Kegel–Wielandt conjecture) 임의의 소수 $p$ 및 $G$의 쉴로브 $p$-부분군 $S$에 대하여, $H\cap S$는 $H$의 쉴로브 $p$-부분군이다.
• 임의의 부분군 $K\leq G$에 대하여, 집합 $HK=\{hk\colon h\in H,\;k\in K\}$의 크기는 $G$의 크기를 나눈다.

역사

케겔-빌란트 추측은 1991년 피터 브라운 클라이드먼(영어: Peter Brown Kleidman)이 증명하였다. 클라이드먼의 증명은 유한 단순군의 분류와 부분군 구조를 사용한다.

외부 링크

• “Subnormal subgroup”. 《Groupprops》 (영어).