비주기적 테셀레이션: 두 판 사이의 차이

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새 문서: right|thumb|200px|[[펜로즈 타일링은 비주기적 타일링의 예시이다. 어떤 두 타일링도 평행 이동 대칭을 만족하지 않는다.]] '''비주기적 타일링'''(非周期的-, {{llang|en|aperiodic tiling}})은 임의의 반복되는 주기적인 부분(기본 단위 도형)을 찾을 수 없는 타일링이다. 만약 어떤 타일들이 모여서 비주기적 타일만 만들 수가 없다면, 타...
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2022년 4월 24일 (일) 09:36 판

펜로즈 타일링은 비주기적 타일링의 예시이다. 어떤 두 타일링도 평행 이동 대칭을 만족하지 않는다.

비주기적 타일링(非周期的-, 영어: aperiodic tiling)은 임의의 반복되는 주기적인 부분(기본 단위 도형)을 찾을 수 없는 타일링이다. 만약 어떤 타일들이 모여서 비주기적 타일만 만들 수가 없다면, 타일의 모양(프로토타일)이 비주기적이라고 한다. 비주기적 타일링의 예시로 가장 잘 알려진 것은 펜로즈 타일링이다.[1][2]

비주기적 타일링은 준결정의 수학적 모형 역할을 한다. 준결정은 1982년 단 셰흐트만이 발견하고[3] 이후 2011년에 노벨상을 탔다.[4] 하지만 이 물질의 자세한 국소적인 구조는 아직 잘 설명할 수 없다.

비주기적 타일링을 만드는 몇 가지 방법이 알려져 있다.

정의 및 그림

단위 정사각형 격자의 주기적 타일링을 생각하자. (격자 종이처럼 보인다) 이제 한 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나눈다. 이렇게 얻은 타일링은 비주기적인데, 평행이동을 시켜서 이 타일링과 같도록 할 수 없기 때문이다. 하지만 분명 이 예시는 펜로즈 타일링보다 흥미롭지 않다. 이런 지루한 예시를 제외하기 위해, 비주기적 타일링을 임의의 큰 주기적인 부분을 포함하지 않는 타일링으로 정의할 수 있다.

어떤 타일링이 비주기적 타일링만 생성(hull)하면 비주기적이라고 한다. 타일링의 생성 는 T를 평행이동한 가능한 모든 T+x를 포함하는데, 이들을 T의 평행이동으로 생각할 수 있다. 형식적으로 이것은 국소 위상수학에서 집합 의 닫힌 부분 집합(closure)이다.[5] 국소 위상수학(각각에 대응되는 행렬)에서 두 타일링이 보다 덜 평행이동했을 때 지름 의 구간에서 일치하면 에 대해 닫혀 있다고 한다.

위보다 더 쉬운 예시를 들면, ...aaaaaabaaaaa...처럼 직선 모양의 1차원 타일링 T를 생각하자. 여기서 a는 길이 1의 간격을 나타내고 b는 길이 2의 간격을 나타낸다. 그래서 이 타일링 T는 무수히 많은 a들과 한 개의 b로 만들어지는데, b를 중심 0이라고 하자. T의 모든 평행이동은 b가 어딘가 있고 나머지는 모두 a일 것이다. b가 에 중심이 있을 때 타일링의 순서는 a로만 이루어진 주기적인 타일링과 국소 위상수학에서 합동이다. 따라서 T는 주기적 타일링 ...aaaaaa...를 부분집합으로 가지기 때문에 주기적 타일링이 아니다.

잘 정의된 타일링(예를 들어 유한하게 많은 국소 패턴으로 구성되는 타일링)에 대해서, 주기적이지 않고 반복되는 타일링(각 타일이 고르게 밀집하게 타일링에서 모여 있음)은 비주기적 타일링이다.[5]

역사

비주기적 타일링의 구체적인 발견은 1961년에 최초로 있었는데, 논리학자 하오 왕이 도미노 문제가 결정 가능한지 연구했을 때였다. 결정 가능하다는 것은 유한한 프로토타일 집합이 주어졌을 때, 이것이 평면을 타일링할 수 있는지 결정하는 알고리즘이 존재한다는 것이다. 왕은 평면을 채울 수 없는 타일 집합과 주기적으로 채울 수 있는 평면 집합을 찾으려고 알고리즘을 발견했다. 이로써 평면을 채울 수 있는 유한한 프로토타일 집합 각각이 주기적 타일링도 만들 수 있다면 이 결정 알고리즘이 존재한다는 걸 보였다. 1964년 로버트 버거는 타일링 문제가 사실 결정 가능하지 않다는 것을 보여서 비주기적 프로토타일 집합을 찾았다.[6][7] 이 증명에 버거가 쓴 집합은 왕 타일 20,426개가 필요했는데, 나중에 104개로 개수를 줄였다. 한스 레우히리는 40개 왕 타일만 필요한 비주기 집합을 찾았다.[8] 왕 타일 6개로 된 더 간단한 비주기적 집합을 래피얼 미셸 로빈슨이 1971년에 발견했다.[9] 로저 펜로즈는 1973년과 74년에 3개의 집합을 추가로 발견했는데, 2개의 타일만 필요했다. 로버트 애먼은 몇개의 집합을 1977년에 더 찾았다.[8]

비주기적인 펜로즈 타일링은 비주기적인 프로토타일 집합뿐 아니라 쪼개기(subtitution)나 잘라서 사영하기(cut-and-project) 방법도 써서 만들 수 있다. 준결정이 연구된 이후 물리학자와 수학자들이 비주기적 타일링을 열심히 연구했다. 펜로즈 타일링에 쓰이는 니콜라스 호베르트 드 브뢰인의 잘라서 사영하기 방법이 마이어 집합 이론의 예시라는 게 결국 밝혀졌다.[10][11] 현재 비주기적 타일링에 대한 많은 양의 문헌이 있다.[5]

만들기

비주기적 타일링을 만드는 몇 방법이 알려져 있다. 그 중 일부는 무한한 비주기적 타일 집합을 사용한다.[12][13] 비주기적인 계층 구조를 주로 써서 만들 수 있다. 그러나 도미노 문제의 비결정성에 따라서 무한히 많은 만드는 원리가 있을 것이고, 비주기적이라는 걸 증명할 수 없는 비주기적 타일링도 존재한다.

같이 보기

각주

  1. ↑ Gardner, Martin (January 1977). “Mathematical Games”. 《Scientific American》 236 (1): 111–119. Bibcode:1977SciAm.236a.110G. doi:10.1038/scientificamerican0177-110. 
  2. ↑ Gardner, Martin (1988). 《Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers》. W H Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8. 
  3. ↑ Schechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, J.W. (1984). “Metallic Phase with long-range orientational order and no translational symmetry”. 《Physical Review Letters》 53 (20): 1951–1953. Bibcode:1984PhRvL..53.1951S. doi:10.1103/PhysRevLett.53.1951. 
  4. ↑ “The Nobel Prize in Chemistry 2011”. Nobelprize.org. 2011년 10월 6일에 확인함. 
  5. ↑ 가 나 다 Baake, M.; Grimm, Uwe (2013). 《Aperiodic Order. Vol 1: A Mathematical Invitation》. Cambridge University Press. 
  6. ↑ 틀:Mathgenealogy.
  7. ↑ Berger, Robert (1966). “The undecidability of the domino problem”. 《Memoirs of the American Mathematical Society》 (66): 1–72. 
  8. ↑ 가 나 Grünbaum and Shephard, section 11.1.
  9. ↑ Robinson, Raphael M. (1971). “Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane”. 《Inventiones Mathematicae》 12 (3): 177–209. Bibcode:1971InMat..12..177R. doi:10.1007/BF01418780. S2CID 14259496. 
  10. ↑ Lagarias, J.C. (1996). “Meyer's concept of quasicrystal and quasiregular sets”. 《Commun. Math. Phys.》 179 (2): 356–376. Bibcode:1996CMaPh.179..365L. doi:10.1007/BF02102593. S2CID 122753893. 
  11. ↑ Moody, R.V. (1997). 〈Meyer sets and their duals〉. 《The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order》. 《The Mathematics of Long Range Aperiodic Order, NATO ASI Series C》. 403–441쪽. doi:10.1007/978-94-015-8784-6_16. ISBN 978-90-481-4832-5. 
  12. ↑ Goodman-Strauss, Chaim (1998). “Matching rules and substitution tilings”. 《Annals of Mathematics》 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436. doi:10.2307/120988. JSTOR 120988. 
  13. ↑ Mozes, S. (1989). “Tilings, substitution systems and dynamical systems generated by them”. 《Journal d'Analyse Mathématique》 53 (1): 139–186. doi:10.1007/BF02793412. S2CID 121775031. 

외부 링크

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