리만 재배열 정리

실해석학에서, 리만 재배열 정리(-再配列定理, Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem)는 실수항의 조건 수렴 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 무한대로 수렴하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다.

정의

실수항 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}\qquad (x_{n}\in \mathbb {R} )$

가 조건 수렴한다고 하자. 리만 재배열 정리에 따르면, 임의의 확장된 실수 $s\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$에 대하여, 다음을 만족시키는 순열 $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$이 존재한다.^{:6, §1.1, Theorem 1.1.3:193, §8.2, Theorem 8.2.8}

$\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s$

증명

자연수(음이 아닌 정수)의 집합 $\mathbb {N}$을 다음과 같이 분할하자.

$\mathbb {N} =\{m_{0},m_{1},m_{2},\dots \}\cup \{n_{0},n_{1},n_{2},\dots \}$

$x_{m_{k}}\geq 0\qquad \forall k$

$x_{n_{k}}<0\qquad \forall k$

그렇다면,

$\sum _{k=0}^{\infty }x_{m_{k}}=\infty$

$\sum _{k=0}^{\infty }x_{n_{k}}=-\infty$

임을 보일 수 있다. (만약 두 급수가 모두 실수로 수렴한다면, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$은 절대 수렴하므로 모순이다. 만약 두 급수가 하나는 무한대로 발산하고 하나는 실수로 수렴한다면, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$은 무한대로 발산하므로 모순이다.) 특히, $\{m_{0},m_{1},\dots \}$와 $\{n_{0},n_{1},\dots \}$는 모두 무한 집합이다.

이제, 급수가 $s$로 수렴하도록 항을 재배열하는 방법을 찾자. 편의상 $s\geq 0$이라고 하자. 우선

$\sum _{k=0}^{i_{0}-1}x_{m_{k}}\leq s<\sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}$

인 자연수 $i_{0}\in \mathbb {N}$를 취할 수 있다. 이 경우

$s<\sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}\leq s+x_{m_{i_{0}}}$

이다. 이제

$\sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}}x_{n_{k}}<s\leq \sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}-1}x_{n_{k}}$

인 자연수 $j_{0}\in \mathbb {N}$을 취하자. 그렇다면 마찬가지로

$s+x_{n_{j_{0}}}\leq \sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}}x_{n_{k}}<s$

가 성립한다. 위와 같은 과정을 반복하면 다음을 만족시키는 자연수열 $(i_{r})_{r=0}^{\infty }$ 및 $(j_{r})_{r=0}^{\infty }$을 얻는다.

$i_{0}<i_{1}<i_{2}<\cdots$

$j_{0}<j_{1}<j_{2}<\cdots$

$s<\sum _{k=0}^{i_{r}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r-1}}x_{n_{k}}\leq s+x_{m_{i_{r}}}\qquad \forall r\in \mathbb {N}$

$s+x_{n_{j_{r}}}\leq \sum _{k=0}^{i_{r-1}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r}}x_{n_{k}}<s\qquad \forall r\in \mathbb {N}$

이제, 순열 $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$을 다음과 같이 정의하자.

$i_{-1}=j_{-1}=-1$

$\sigma \colon k\mapsto {\begin{cases}m_{k-j_{r}-1}&r\in \{-1,0,1,2,\dots \},\;k\in \{i_{r}+j_{r}+2,\dots ,i_{r+1}+j_{r}+1\}\\n_{k-i_{r}-1}&r\in \{0,1,2,\dots \},\;k\in \{i_{r}+j_{r-1}+2,\dots ,i_{r}+j_{r}+1\}\end{cases}}\qquad \forall k\in \mathbb {N}$

그렇다면, 임의의 $K\in \mathbb {N}$에 대하여,

$\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(m_{K})}x_{\sigma (n)}=\sum _{k=0}^{K}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r}}x_{n_{k}}\qquad (i_{r-1}<K\leq i_{r})$

$\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(n_{K})}x_{\sigma (n)}=\sum _{k=0}^{i_{r}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{K}x_{n_{k}}\qquad (j_{r-1}<K\leq j_{r})$

이므로,

$\limsup _{N\to \infty }\left|\sum _{n=0}^{N}x_{\sigma (n)}-s\right|\leq \limsup _{k\to \infty }\max \left\{\left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(m_{k})}x_{\sigma (n)}-s\right|,\left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(n_{k})}x_{\sigma (n)}-s\right|\right\}\leq \limsup _{r\to \infty }\max\{x_{m_{i_{r}}},-x_{n_{j_{r}}}\}=0$

이다. 즉,

$\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s$

이다.

예

조화 급수에 대응하는 교대 급수

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}$

를 생각하자. 이 급수는 $\ln 2$로 수렴한다. 그러나 하나의 양의 실수항과 2개의 음의 실수항을 번갈아 가며 배열하여 얻는 새로운 급수는 $\textstyle {\frac {1}{2}}\ln 2$로 수렴한다.

${\begin{aligned}1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots &=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)\\&={\frac {1}{2}}\ln 2\end{aligned}}$

참고 문헌

• Tao, Terence (2008). 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-18693-5.