각 원소
을
에 대한 단항식
![{\displaystyle X^{N}\in \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3797af312591c8cc3d815276120ddbe346b824a3)
으로 표기하자.
위의 임의의 합동 관계
에 대하여,
인
들로 생성된 아이디얼을
라고 하고,
![{\displaystyle M\sim N\iff X^{M}-X^{N}\in {\mathfrak {i}}_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8150b1a35841b1d07d313ddb92ad2322b4b1eae4)
임을 보이자.
는 자명하게
를 함의한다. 이제,
라고 가정하자. 그렇다면
은 유한 개의 서로 합동인 두 단항식의 차들의 합이다. 만약
이라면,
이므로
이다. 만약
![{\displaystyle X^{M}-X^{N}=X^{A}-X^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe7caf9eba81700ddb884dab5080c96f986e954)
![{\displaystyle A\sim B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0964837df56526df8b8eb7b544eb43db138f91dd)
![{\displaystyle A\neq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78362703472ea51edc4614b6b7a7bda8e83131c)
인
가 존재한다면,
이다. 이제
![{\displaystyle X^{M}-X^{N}=(X^{A}-X^{B})+(X^{C}-X^{D})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57d2b51445121a1f7e556f9fcce2a7902a7e24c)
![{\displaystyle A\sim B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0964837df56526df8b8eb7b544eb43db138f91dd)
![{\displaystyle A\neq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78362703472ea51edc4614b6b7a7bda8e83131c)
![{\displaystyle C\sim D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c668246a75174c8442abe481cea2f5e85b547a)
![{\displaystyle C\neq D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0c7c3a15a85aa7290c149eb46042cc683f417d)
인
가 존재한다고 하자. 그렇다면,
이며,
이다. 만약
이거나
라면,
이다. 만약
이거나
라면, 편의상
라고 하자. 그렇다면,
이므로,
![{\displaystyle X^{M}-X^{N}=(X^{A}-X^{B})+(X^{C}-X^{D})=X^{A}-X^{B}+X^{B}-X^{D}=X^{A}-X^{D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093785246e1fea3792135dac861c0f53c1676f9a)
![{\displaystyle A\sim B=C\sim D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c067ffd97f31700be3b31822dbe3f1191882be3)
이며, 따라서
이다. 이와 같은 과정을 반복하면 항상
임을 알 수 있다.
이에 따라,
위의 합동 관계는
의 아이디얼들과 일대일 대응하며, 또한
는
의 아이디얼들의 부분 순서 집합과 순서 동형이다. 특히, 힐베르트 기저 정리에 따라,
는 뇌터 환이므로,
의 아이디얼들은 오름 사슬 조건을 만족시키며, 따라서
역시 오름 사슬 조건을 만족시킨다.