프라티니 논증: 두 판 사이의 차이
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[[군론]]에서, '''프라티니 논증'''({{llang|en|Frattini |
[[군론]]에서, '''프라티니 논증'''(-論證, {{llang|en|Frattini argument}})는 [[유한군]]을 [[정규 부분군]]과 이 부분군의 [[쉴로브 부분군]]의 [[정규화 부분군]]의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다. |
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== 정의 == |
== 정의 == |
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[[군 (수학)|군]] <math>G</math>와 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌고, <math>N</math>이 <math>G</math>의 [[유한군|유한]] [[정규 부분군]]이며, <math>P</math>가 <math>N</math>의 [[쉴로브 p-부분군|쉴로브 ''p''-부분군]]이라고 하자. '''프라티니 논증'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Rose">{{서적 인용 |
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|성=Rose |
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|이름=Harvey E. |
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|제목=A Course on Finite Groups |
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|언어=en |
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|총서=Universitext |
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|출판사=Springer |
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|위치=London |
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|날짜=2009 |
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|isbn=978-1-84882-888-9 |
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|issn=0172-5939 |
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|doi=10.1007/978-1-84882-889-6 |
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}}</ref>{{rp|128, §6.3, Lemma 6.14}} |
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여기서 <math>\operatorname N_G(P)</math>는 <math>G</math> 속 <math>P</math>의 [[정규화 부분군]]이다. |
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== 증명 == |
== 증명 == |
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임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>gPg^{-1}</math>은 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다. [[제2 쉴로브 정리]]에 의하여, 이는 <math>N</math>에서 <math>P</math>와 [[켤레 부분군|켤레]]이다. 즉, |
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임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, |
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:<math> |
:<math>ngPg^{-1}n^{-1}=P</math> |
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인 <math>n\in N</math>이 존재한다. 따라서 <math>ng\in\operatorname N_G(P)</math>이며, |
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는 <math>H</math>의 쉴로브 <math>p</math>-부분군이다. [[제2 쉴로브 정리]]에 따라, 다음 조건을 만족시키는 <math>h\in H</math>가 존재한다. |
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:<math> |
:<math>g\in n^{-1}\operatorname N_G(P)\subseteq N\operatorname N_G(P)</math> |
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이다. |
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즉 |
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즉 |
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따라서 프라티니 논증이 성립한다. |
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== 응용 == |
== 응용 == |
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유한군 <math>G</math>와 소수 <math>p</math>가 주어졌고, <math>P</math>가 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이며, <math>\operatorname N_G(P)\le H\le G</math>라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Rose" />{{rp|129, §6.3, Corollary 6.15}} |
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프라티니 논증은 다음과 같은 따름 정리를 갖는다. |
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* 만약 <math>P</math>가 <math>G</math>의 실로우 <math>p</math>-부분군이며, <math>N_G(P)\le H\le G</math>라면, <math>N_G(H)=H</math>이다. |
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특히, |
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:<math>\operatorname N_G(\operatorname N_G(P))=\operatorname N_G(P)</math> |
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이다. |
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{{증명 시작}} |
{{증명 시작}} |
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<math>H</math>가 <math>\operatorname N_G(H)</math>의 정규 부분군이며, |
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전제 조건에 따라, |
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:<math>P\le N_G(P)\le H |
:<math>P\le\operatorname N_G(P)\le H</math> |
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프라티니 논증에 |
는 <math>H</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여 |
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:<math>N_G(H)= |
:<math>\operatorname N_G(H)=H\operatorname N_{\operatorname N_G(H)}(P)\le H\operatorname N_G(P)=H\le\operatorname N_G(H)</math> |
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이다. |
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따라서 |
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:<math>N_G(H)=H</math> |
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{{증명 끝}} |
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== 역사 == |
== 역사 == |
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[[조반니 프라티니]]({{llang|it|Giovanni Frattini}})가 |
1885년에 [[조반니 프라티니]]({{llang|it|Giovanni Frattini}})가 [[프라티니 부분군]]이 [[멱영군]]이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다. |
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== 각주 == |
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== 외부 링크 == |
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* {{proofwiki|id=Frattini%27s_Argument|title=Frattini's argument}} |
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[[분류:유한군]] |
[[분류:유한군]] |
2019년 9월 29일 (일) 23:21 판
군론에서, 프라티니 논증(-論證, 영어: Frattini argument)는 유한군을 정규 부분군과 이 부분군의 쉴로브 부분군의 정규화 부분군의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.
정의
군 와 소수 가 주어졌고, 이 의 유한 정규 부분군이며, 가 의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 프라티니 논증에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:128, §6.3, Lemma 6.14
여기서 는 속 의 정규화 부분군이다.
증명
임의의 에 대하여, 은 의 쉴로브 p-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 에서 와 켤레이다. 즉,
인 이 존재한다. 따라서 이며,
이다.
응용
유한군 와 소수 가 주어졌고, 가 의 쉴로브 p-부분군이며, 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[1]:129, §6.3, Corollary 6.15
특히,
이다.
증명:
가 의 정규 부분군이며,
는 의 쉴로브 p-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여
이다.
역사
1885년에 조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini)가 프라티니 부분군이 멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.
각주
- ↑ 가 나 Rose, Harvey E. (2009). 《A Course on Finite Groups》. Universitext (영어). London: Springer. doi:10.1007/978-1-84882-889-6. ISBN 978-1-84882-888-9. ISSN 0172-5939.
외부 링크
- “Frattini's argument”. 《ProofWiki》 (영어).