약도함수: 두 판 사이의 차이
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[[해석학 (수학)|해석학]]에서, '''약도함수'''(弱導函數, {{Llang|en|weak derivative}})는 일반적인 [[미분|도함수]]의 개념의 일반화이다. 이를 통하여 고전적으로 도함수를 취할 수 없는 함수들의 도함수를 취할 수 있다. |
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[[칸토어 함수]]는 [[거의 어디서나]] 도함수를 갖지만, 약도함수를 가지지 않는다. 칸토어 함수의 도함수는 [[분포 (해석학)|분포]]로서 존재하지만, 이 분포는 L<sup>1</sup> [[르베그 공간]]의 원소로 나타내어질 수 없다. |
[[칸토어 함수]]는 [[거의 어디서나]] 도함수를 갖지만, 약도함수를 가지지 않는다. 칸토어 함수의 도함수는 [[분포 (해석학)|분포]]로서 존재하지만, 이 분포는 L<sup>1</sup> [[르베그 공간]]의 원소로 나타내어질 수 없다. |
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== 참고 문헌 == |
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* {{서적 인용| first1=D.|last1=Gilbarg|first2=N.|last2=Trudinger| title=Elliptic partial differential equations of second order | year=2001 | publisher=Springer | location=Berlin | isbn=3-540-41160-7 | page=149}} |
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* {{서적 인용| author=Evans, Lawrence C. | title=Partial differential equations | year=1998 | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | isbn=0-8218-0772-2 | page=242}} |
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* {{서적 인용|author1=Knabner, Peter |author2=Angermann, Lutz | title=Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations | year=2003 | publisher=Springer | location=New York | isbn=0-387-95449-X | page=53}} |
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[[분류:함수해석학]] |
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2018년 9월 15일 (토) 21:30 판
해석학에서, 약도함수(弱導函數, 영어: weak derivative)는 일반적인 도함수의 개념의 일반화이다. 이를 통하여 고전적으로 도함수를 취할 수 없는 함수들의 도함수를 취할 수 있다.
정의
다음이 주어졌다고 하자.
만약 다음 조건이 성립한다면, 가 의 방향의 약도함수라고 한다.
이는 흔히
로 표기된다.
만약 일 때는 표준적인 벡터장 들이 존재하며, 이에 대한 약도함수를 취할 수 있다.
성질
약도함수는 르베그 공간 속에서 유일하다. 함수의 경우, 약도함수는 그 도함수와 일치한다.
예
실수선 위의 절댓값 함수
의 약도함수는 부호 함수
(의 르베그 공간에서의 동치류)이다. 에서의 값은 어느 값이든 상관이 없다 (이는 모두 르베그 공간 속의 같은 동치류에 속한다).
를 생각하자 (는 아이버슨 괄호). 이는 어디서나 연속 함수가 아니며, 따라서 어디서나 도함수를 갖지 않는다. 그러나 이 함수는 약도함수를 가지며, 이는 상수 함수 0이다. 사실, 유리수 집합의 측도가 0이므로, 르베그 공간에서 는 값이 0인 상수 함수와 같은 동치류에 속한다.
칸토어 함수는 거의 어디서나 도함수를 갖지만, 약도함수를 가지지 않는다. 칸토어 함수의 도함수는 분포로서 존재하지만, 이 분포는 L1 르베그 공간의 원소로 나타내어질 수 없다.
참고 문헌
- Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). 《Elliptic partial differential equations of second order》. Berlin: Springer. 149쪽. ISBN 3-540-41160-7.
- Evans, Lawrence C. (1998). 《Partial differential equations》. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 242쪽. ISBN 0-8218-0772-2.
- Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). 《Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations》. New York: Springer. 53쪽. ISBN 0-387-95449-X.