칼손의 부등식

칼손의 부등식(Carlson's inequality, -不等式)은 스웨덴 수학자 프리츠 다비드 칼손(Fritz David Carlson)이 1934년 제출하여 그의 이름이 붙은 부등식이다. 여러 종류의 형식이 있는데, 대표적인 것은 코시-슈바르츠 부등식에서 순수하게 대수적으로 유도할 수 있는 합 형태와 $L_{2}$ 공간에서 실해석학의 기법으로 유도할 수 있는 적분 형태의 두 종류이다. 두 경우 모두 자주 쓰이는 형태는 유사한데, 이산 형태와 연속 형태로 불리기도 한다.

합 형태

합 형태 칼손의 부등식은 보통 다음과 같은 두 형태 중 하나로 사용된다.

1. 임의의 실수 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 에 대하여, $(\sum _{i=1}^{n}a_{i})^{2}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}(\sum _{i=1}^{n}i^{2}a_{i}^{2}).$
2. 임의의 실수 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 에 대하여, $(\sum _{i=1}^{n}a_{i})^{4}<\pi ^{2}(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2})(\sum _{i=1}^{n}i^{2}a_{i}^{2}).$

증명

둘 모두 코시-슈바르츠 부등식에서 쉽게 유도가능하다. 위의 ${a_{i}}$ 및 임의 n개의 0이 아닌 실수 $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ 에 대하여 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면,

$(a_{1}+...+a_{n})^{2}=(a_{1}\cdot c_{1}\cdot {\frac {1}{c_{1}}}+...+a_{n}\cdot c_{n}\cdot {\frac {1}{c_{n}}})^{2}\leq (a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2})({\frac {1}{c_{1}^{2}}}+...+{\frac {1}{c_{n}^{2}}}).$

을 얻는다. 여기서 $C_{n}:={\frac {1}{c_{1}^{2}}}+...+{\frac {1}{c_{n}^{2}}}$ 라 쓰면, 이는 다음과 같은 일반적인 부등식이 된다.

$(a_{1}+...+a_{n})^{2}\leq C_{n}(a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2}).$

여기서 $c_{i}=i$ 라 할 경우, $C_{n}<\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 으로부터 첫 번째 부등식이 증명된다. 다음으로, 양수 t에 대해 $c_{i}^{2}=t+{\frac {i^{2}}{t}}$ 로 놓고 전개하면,

$C_{n}={\frac {t}{t^{2}+1^{2}}}+{\frac {t}{t^{2}+2^{2}}}+...+{\frac {t}{t^{2}+n^{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.$

이 된다. $P:=a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2},Q:=a_{1}^{2}+2^{2}a_{2}^{2}+...+n^{2}a_{n}^{2}$ 라 두고 $t={\sqrt {\frac {Q}{P}}}$ 를 만족하도록 t를 잡으면, 다음과 같이 식을 전개할 수 있다.

$(a_{1}+...+a_{n})^{2}\leq C_{n}(a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2})<{\frac {\pi }{2}}(t(a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})+{\frac {1}{t}}(a_{1}^{2}+2^{2}a_{2}^{2}+...+n^{2}a_{n}^{2}))={\frac {\pi }{2}}(tP+{\frac {1}{t}}Q)=\pi {\sqrt {PQ}}.$

이제 양 변에 제곱을 취하면 두 번째 부등식을 얻는다.

적분 형태

적분 형태 칼손의 부등식도 위와 같은 두 가지 형태가 모두 가능하다. 두 번째 형태만 직접 서술해 보면 다음과 같다.

1. 만약 f가 실수값 함수이고 $f,xf\in L_{2}(0,\infty )$ 이면, $(\int _{0}^{\infty }f(x)dx)^{4}<\pi ^{2}(\int _{0}^{\infty }f^{2}(x)dx)(\int _{0}^{\infty }x^{2}f^{2}(x)dx).$

참고 문헌

• Arthur Engel (1997), Problem-Solving Strategies, Springer Verlag, ISBN 0-387-98219-1

외부 링크

• (영어) 슈프링거 온라인 레퍼런스