분기 (동역학계): 두 판 사이의 차이
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* {{서적 인용 |title= Dynamics and bifurcations|last1= Hale|first1= J.|last2= Koçak|first2= H. |날짜= 1991|publisher= Springer|series= Texts in Applied Mathematics|volume= 3|doi=10.1007/978-1-4612-4426-4|isbn=978-0-387-97141-4|언어고리=en}} |
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* {{저널 인용|제목=Bifurcation|저널=Scholarpedia|권=2|호=6|쪽=1517|doi=10.4249/scholarpedia.1517|이름=John|성=Guckenheimer|날짜=2007|issn=1941-6016|언어고리=en}} |
* {{저널 인용|제목=Bifurcation|저널=Scholarpedia|권=2|호=6|쪽=1517|doi=10.4249/scholarpedia.1517|이름=John|성=Guckenheimer|날짜=2007|issn=1941-6016|언어고리=en}} |
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* {{저널 인용|제목=Andronov-Hopf bifurcation|저널=Scholarpedia|권=1|호=10|쪽=1858|doi=10.4249/scholarpedia.1858|이름=Yuri A. |성=Kuznetsov|날짜=2006|issn=1941-6016|언어고리=en}} |
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* {{저널 인용|제목=Neimark-Sacker bifurcation|저널=Scholarpedia|권=3|호=5|쪽=1845|doi=10.4249/scholarpedia.1845|이름=Yuri A. |성=Kuznetsov|이름2=Robert J.|성2=Sacker|날짜=2008|issn=1941-6016|언어고리=en}} |
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* {{저널 인용|제목=Period doubling|저널=Scholarpedia|권=9|호=6|쪽=3958|doi=10.4249/scholarpedia.3958|이름=Charles|성=Tresser|이름2=Pierre|성2=Coullet|이름3=Edson|성3=de Faria||날짜=2014|issn=1941-6016|언어고리=en}} |
* {{저널 인용|제목=Period doubling|저널=Scholarpedia|권=9|호=6|쪽=3958|doi=10.4249/scholarpedia.3958|이름=Charles|성=Tresser|이름2=Pierre|성2=Coullet|이름3=Edson|성3=de Faria||날짜=2014|issn=1941-6016|언어고리=en}} |
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== 바깥 고리 == |
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2015년 10월 13일 (화) 10:13 판
동역학계 이론에서, 분기(分岐, 영어: bifurcation)는 어떤 매개변수에 의존하는 동역학계의 궤도 따위가, 특정 매개변수 값에서 급격히 변하는 현상이다. 동역학계를 분기를 통하여 연구하는 수학 분야를 분기 이론(分岐理論, 영어: bifurcation theory)이라고 한다.
정의
분기(分岐, 영어: bifurcation)는 국소적 분기(영어: local bifurcation)와 대역적 분기(영어: global bifurcation)가 있다. 전자는 평형점의 존재 또는 부재에 대한 것이고, 후자는 주기적 궤도 따위에 대한 것이다. 전자는 선형화 이론으로 다룰 수 있지만, 후자는 더 복잡하다.
국소적 분기
어떤 차원 리만 다양체 위에, 매개변수 에 의존하는 연속 시간 동역학계
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 에서 야코비 행렬
을 정의할 수 있다. 이를 실수 행렬로 간주할 때, 만약 가 실수 성분이 0인 복소수 고윳값을 갖는다면, 동역학계 가 에서 분기한다고 한다.[1]:996, §II.A.3 이 경우, 두 가지 경우를 구분할 수 있다.
- 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이라면, 이는 안정 상태 분기(安定狀態分岐, 영어: steady-state bifurcation)라고 한다.
- 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이 아닌 허수라면, 이는 호프 분기(Hopf分岐, 영어: Hopf bifurcation)라고 한다. 이 경우, 대개 어떤 고정점이 극한 주기 궤도(영어: limit cycle)로 변화하게 된다.
이산 시간 동역학계에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다. 이산 시간 동역학계
가 주어졌다고 하자. 만약 에 대하여, 야코비 행렬
을 정의할 수 있다. 이를 실수 행렬로 간주할 때, 만약 가 절댓값이 1인 복소수 고윳값을 갖는다면, 가 에서 분기한다고 한다.[1]:998, §II.B.2 이 경우, 다음과 같이 세 가지 경우가 가능하다.
- 만약 절댓값이 1인 고윳값이 1이라면, 이는 안정 상태 분기(安定狀態分岐, 영어: steady-state bifurcation)라고 한다.
- 만약 절댓값이 1인 고윳값의 쌍이 이라면 (), 이는 호프 분기(Hopf分岐, 영어: Hopf bifurcation)라고 한다.
- 만약 절댓값이 1인 고윳값이 −1이라면, 이는 주기 2배화 분기(週期二倍化分岐, 영어: period-doubling bifurcation)라고 한다. 이는 연속 시간 동역학계에서 나타나지 않는 분기화이다.
대역적 분기
대역적 분기(영어: global bifurcation)는 주기적 궤도(영어: periodic orbit)나 극한 주기 궤도(영어: limit cycle), 끌개 등이 한 개 이상의 안정점과 충돌하게 되는 점이다. 이 역시 다양한 경우가 있다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 Crawford, John David (1991년 10월 1일). “Introduction to bifurcation theory” (PDF). 《Reviews of Modern Physics》 63: 991. doi:10.1103/RevModPhys.63.991.
- Kuznetsov, Yuri A. (1994). 《Elements of applied bifurcation theory》 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3978-7.
- Hale, J.; Koçak, H. (1991). 《Dynamics and bifurcations》. Texts in Applied Mathematics 3. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4426-4. ISBN 978-0-387-97141-4.
- Guckenheimer, John (2007). “Bifurcation”. 《Scholarpedia》 2 (6): 1517. doi:10.4249/scholarpedia.1517. ISSN 1941-6016.
- Kuznetsov, Yuri A. (2006). “Andronov-Hopf bifurcation”. 《Scholarpedia》 1 (10): 1858. doi:10.4249/scholarpedia.1858. ISSN 1941-6016.
- Kuznetsov, Yuri A. (2007). “Cusp bifurcation”. 《Scholarpedia》 2 (4): 1852. doi:10.4249/scholarpedia.1852. ISSN 1941-6016.
- Kuznetsov, Yuri A. (2006). “Saddle-node bifurcation”. 《Scholarpedia》 1 (10): 1859. doi:10.4249/scholarpedia.1859. ISSN 1941-6016.
- Guckenheimer, John; Kuznetsov, Yuri A. (2007). “Fold-Hopf bifurcation”. 《Scholarpedia》 2 (10): 1855. doi:10.4249/scholarpedia.1855. ISSN 1941-6016.
- Guckenheimer, John; Kuznetsov, Yuri A. (2008). “Hopf-Hopf bifurcation”. 《Scholarpedia》 3 (8): 1856. doi:10.4249/scholarpedia.1856. ISSN 1941-6016.
- Pavlovich Shilnikov, Leonid; Shilnikov, Andrey (2007). “Shilnikov bifurcation”. 《Scholarpedia》 2 (8): 1891. doi:10.4249/scholarpedia.1891. ISSN 1941-6016.
- Guckenheimer, John; Kuznetsov, Yuri A. (2007). “Bogdanov-Takens bifurcation”. 《Scholarpedia》 2 (8): 1854. doi:10.4249/scholarpedia.1854. ISSN 1941-6016.
- Guckenheimer, John; Kuznetsov, Yuri A. (2007). “Bautin bifurcation”. 《Scholarpedia》 2 (5): 1853. doi:10.4249/scholarpedia.1853. ISSN 1941-6016.
- Kuznetsov, Yuri A.; Sacker, Robert J. (2008). “Neimark-Sacker bifurcation”. 《Scholarpedia》 3 (5): 1845. doi:10.4249/scholarpedia.1845. ISSN 1941-6016.
- Tresser, Charles; Coullet, Pierre; de Faria, Edson (2014). “Period doubling”. 《Scholarpedia》 9 (6): 3958. doi:10.4249/scholarpedia.3958. ISSN 1941-6016.
바깥 고리
- “Bifurcation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Branching of solutions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Qualitative theory of differential equations”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Saddle-node bifurcation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Hopf bifurcation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Bifurcation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.