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[[양자장론]]에서, '''c-정리'''({{llang|en|''c''-theorem}})는 2차원 [[양자장론]]들의 공간 위에서, 양자장론의 [[자유도]]의 수를 나타내고, [[재규격화군]] 흐름에 따라서 단조적으로 감소하는 함수 ''c''가 존재한다는 정리다. 이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. [[재규격화군]]의 고정점에서, ''c''는 [[등각 장론]]의 [[비라소로 대수]]의 중심 전하가 된다. |
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[[알렉산드르 자몰롯치코프]]가 1986년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Alexander|성=Zamolodchikov|저자고리=알렉산드르 자몰롯치코프|날짜=1986|url=http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1413/article_21504.pdf|제목=“Irreversibility” of the Flux of the Renormalization Group in a 2-D Field Theory|저널=Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters|권=43|쪽=730–732|bibcode=1986JETPL..43..730Z|언어고리=en}}</ref> |
[[존 카디]]는 중심 원소 ''c''가 계의 [[자유도]]의 수를 나타내는 것을 보였다. 이후, [[알렉산드르 자몰롯치코프]]가 c-정리를 1986년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Замолодчиков|이름=А.Б.|저자고리=알렉산드르 자몰롯치코프|날짜=1986-06-25|url=http://www.jetpletters.ac.ru/ps/132/article_2272.shtml|제목=О "необратимости" потока ренормализационной группы в двумерной теории поля|저널=Письма в ЖЭТФ|권=43|호=12|쪽=565–567|bibcode=1986JETPL..43..730Z|언어고리=ru}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Alexander|성=Zamolodchikov|저자고리=알렉산드르 자몰롯치코프|날짜=1986|url=http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1413/article_21504.pdf|제목=“Irreversibility” of the Flux of the Renormalization Group in a 2-D Field Theory|저널=Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters|권=43|쪽=730–732|bibcode=1986JETPL..43..730Z|언어고리=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1302.0884|제목=A lecture note on scale invariance vs conformal invariance|이름=Yu|성=Nakayama|bibcode=2013arXiv1302.0884N|언어고리=en}}</ref>{{rp|37–39}}<ref>{{저널 인용|arxiv=0908.0333|이름=David|성=Tong|제목=Lectures on string theory|bibcode=2009arXiv0908.0333T|언어고리=en|날짜=2009|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html}}</ref>{{rp|91}} |
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== 고차원에서의 c-정리 == |
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''c''-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 짝수 차원의 시공간에서, [[존 카디]]는 ''c''에 해당하는 값을 정의하였고,<ref>{{저널 인용|제목=Is there a c-theorem in four dimensions?|doi=10.1016/0370-2693(88)90054-8|bibcode=1988PhLB..215..749C|저널=Physics Letters B|권=215|호=4|쪽=749-752|날짜=1988-12-29|이름=John L.|성=Cardy|저자고리=존 카디|issn=0370-2693}}</ref>, 이는 ''a''라고 불리게 되었다.<ref>[http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/people/JohnCardy/seminars/oxford2012.pdf Renormalisation group flows in four dimensions and the ‘''a''-theorem’]</ref> 카디는 ''a''가 [[재규격화군]] 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 <strong>''a''-정리</strong>({{llang|en|''a''-theorem}})라고 한다. 4차원의 경우, ''a''-정리는 2011년에 증명되었다.<ref>{{저널 인용|이름=Z.|성=Komargodski|공저자=A. Schwimmer|연도=2011|제목=On renormalization group flows in four dimensions|저널=Journal of High Energy Physics|권=2011|호=12|쪽=99|doi=10.1007/JHEP12(2011)099|arxiv=1107.3987|bibcode=2011JHEP...12..099K|issn=1029-8479|언어고리=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1112.4538|이름=Zohar|성=Komargodski|doi=10.1007/JHEP07(2012)069|bibcode=2012JHEP...07..069K|언어고리=en|날짜=2012-07|저널=Journal of High Energy Physics|issn=1029-8479|권=2012|호=7|쪽=69}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Reich|이름=Eugenie Samuel|날짜=2011년 11월 14일|제목=Proof found for unifying quantum principle|저널=[[네이처|Nature]]|doi=10.1038/nature.2011.9352|언어고리=en}}</ref> 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1205.3994|제목=On renormalization group flows and the ''a''-theorem in 6d|이름=Henriette|성=Elvang|공저자=Daniel Z. Freedman, Ling-Yan Hung, Michael Kiermaier, Robert C. Myers, Stefan Theisen|bibcode=2012JHEP...10..011E|저널=Journal of High Energy Physics|issn=1029-8479|날짜=2012-10|권=2012|호=10|쪽=11|언어고리=en}}</ref> |
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2010년에는 3차원 등각 장론에 대하여 ''F''라는 값이 정의되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1012.3210|제목=The Exact Superconformal R-Symmetry Extremizes ''Z''|이름=Daniel L.|성=Jafferis|doi=10.1007/JHEP05(2012)159|언어고리=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1103.1181|제목= |
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Towards the F-Theorem: N=2 Field Theories on the Three-Sphere|이름=Daniel L.|성=Jafferis|공저자=Igor R. Klebanov, Silviu S. Pufu, Benjamin R. Safdi|doi=10.1007/JHEP06(2011)102|언어고리=en}}</ref> 이는 3차원에서 ''c'' 또는 ''a''에 대응하는 값으로 추측된다. |
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2010년에는 [[홀로그래피 원리]]를 사용하여, 임의의 차원에서의 ''c''-정리들이 제안되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1011.5819|제목=Holographic ''c''-theorems in arbitrary dimensions|이름=Robert C.|성=Myers|공저자=Aninda Sinha|언어고리=en}}</ref> 이는 3차원에서 이미 정의된 ''F''와 일치한다는 사실이 증명되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1102.0440|제목=Towards a derivation of holographic entanglement entropy|이름=Horacio|성=Casini|공저자=Marina Huerta, Robert C. Myers}}</ref> |
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== 참고 문헌 == |
== 참고 문헌 == |
2014년 7월 10일 (목) 03:52 판
양자장론에서, c-정리(영어: c-theorem)는 2차원 양자장론들의 공간 위에서, 양자장론의 자유도의 수를 나타내고, 재규격화군 흐름에 따라서 단조적으로 감소하는 함수 c가 존재한다는 정리다. 이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 재규격화군의 고정점에서, c는 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하가 된다.
정의
2차원 공간 위에서, 복소 좌표 를 사용하자. 2차원에서 에너지-운동량 텐서는 대칭성에 의해 두 개의 독립된 성분을 가지는데, 이를 각각 와 로 적자. 등각 장론의 경우 후자는 0이 된다.
양자장론은 일련의 결합 상수 및 재규격화 에너지 눈금 에 의존하는 국소 라그랑지언 밀도 에 의해 정의된다. 양자장론이 재규격화 가능하다는 것은 다음 세 조건들을 의미한다.
- 유동 결합 상수 가 존재하여, 모든 에 대하여
- 가 성립한다.
- 유동 결합 상수는 자율적 1차 상미분 방정식을 따른다. 즉, 베타 함수 가 존재하여,
- 이어야 한다.
- 에너지-운동량 텐서의 대각합 는 다음과 같다.
c-정리에 따르면, 모든 재규격화 가능한 2차원 양자장론에 대하여 다음과 같은 함수 가 존재한다.
c의 정의
다음과 같은 값들을 정의하자.
이들은 모두 어떤 임의의 주어진 에너지 눈금 에서 정의된다. 정의에 따라 이들은 모두 차원이 0인 로런츠 스칼라이다. 또한, 는 양의 정부호인 대칭 행렬이다. 이 구조에 따라서 는 리만 다양체를 이룬다.
그렇다면 는 다음과 같다.
역사
존 카디는 중심 원소 c가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 이후, 알렉산드르 자몰롯치코프가 c-정리를 1986년에 증명하였다.[1][2][3]:37–39[4]:91
고차원에서의 c-정리
c-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 짝수 차원의 시공간에서, 존 카디는 c에 해당하는 값을 정의하였고,[5], 이는 a라고 불리게 되었다.[6] 카디는 a가 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 a-정리(영어: a-theorem)라고 한다. 4차원의 경우, a-정리는 2011년에 증명되었다.[7][8][9] 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.[10]
2010년에는 3차원 등각 장론에 대하여 F라는 값이 정의되었다.[11][12] 이는 3차원에서 c 또는 a에 대응하는 값으로 추측된다.
2010년에는 홀로그래피 원리를 사용하여, 임의의 차원에서의 c-정리들이 제안되었다.[13] 이는 3차원에서 이미 정의된 F와 일치한다는 사실이 증명되었다.[14]
참고 문헌
- ↑ Замолодчиков, А.Б. (1986년 6월 25일). “О "необратимости" потока ренормализационной группы в двумерной теории поля”. 《Письма в ЖЭТФ》 43 (12): 565–567. Bibcode:1986JETPL..43..730Z.
- ↑ Zamolodchikov, Alexander (1986). ““Irreversibility” of the Flux of the Renormalization Group in a 2-D Field Theory” (PDF). 《Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters》 43: 730–732. Bibcode:1986JETPL..43..730Z.
- ↑ Nakayama, Yu. “A lecture note on scale invariance vs conformal invariance”. arXiv:1302.0884. Bibcode:2013arXiv1302.0884N.
- ↑ Tong, David (2009). “Lectures on string theory”. arXiv:0908.0333. Bibcode:2009arXiv0908.0333T.
- ↑ Cardy, John L. (1988년 12월 29일). “Is there a c-theorem in four dimensions?”. 《Physics Letters B》 215 (4): 749-752. Bibcode:1988PhLB..215..749C. doi:10.1016/0370-2693(88)90054-8. ISSN 0370-2693.
- ↑ Renormalisation group flows in four dimensions and the ‘a-theorem’
- ↑ Komargodski, Z.; A. Schwimmer (2011). “On renormalization group flows in four dimensions”. 《Journal of High Energy Physics》 2011 (12): 99. arXiv:1107.3987. Bibcode:2011JHEP...12..099K. doi:10.1007/JHEP12(2011)099. ISSN 1029-8479.
- ↑ Komargodski, Zohar (2012년 7월). 《Journal of High Energy Physics》 2012 (7): 69. arXiv:1112.4538. Bibcode:2012JHEP...07..069K. doi:10.1007/JHEP07(2012)069. ISSN 1029-8479.
|제목=
이(가) 없거나 비었음 (도움말) - ↑ Reich, Eugenie Samuel (2011년 11월 14일). “Proof found for unifying quantum principle”. 《Nature》. doi:10.1038/nature.2011.9352.
- ↑ Elvang, Henriette; Daniel Z. Freedman, Ling-Yan Hung, Michael Kiermaier, Robert C. Myers, Stefan Theisen (2012년 10월). “On renormalization group flows and the a-theorem in 6d”. 《Journal of High Energy Physics》 2012 (10): 11. arXiv:1205.3994. Bibcode:2012JHEP...10..011E. ISSN 1029-8479.
- ↑ Jafferis, Daniel L. “The Exact Superconformal R-Symmetry Extremizes Z”. arXiv:1012.3210. doi:10.1007/JHEP05(2012)159.
- ↑ Jafferis, Daniel L.; Igor R. Klebanov, Silviu S. Pufu, Benjamin R. Safdi. “Towards the F-Theorem: N=2 Field Theories on the Three-Sphere”. arXiv:1103.1181. doi:10.1007/JHEP06(2011)102.
- ↑ Myers, Robert C.; Aninda Sinha. “Holographic c-theorems in arbitrary dimensions”. arXiv:1011.5819.
- ↑ Casini, Horacio; Marina Huerta, Robert C. Myers. “Towards a derivation of holographic entanglement entropy”. arXiv:1102.0440.