측도론과 확률론에서 추이 측도(推移測度, 영어: transition measure)는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수이며 두 번째 변수에 대하여 측도인 이변수 함수이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도를 유도할 수 있다.
두 가측 공간
와
사이의 추이 측도는 다음 두 조건을 만족시키는 함수
![{\displaystyle \mu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765d8c552acb6855c2c643cdf8416b372b1d19cc)
이다.
- 임의의
에 대하여,
는
위의 측도이다.
- 임의의
에 대하여,
는
가측 함수이다.
만약 임의의
에 대하여
가 확률 측도라면,
를 확률 추이 측도(確率推移測度, 영어: probability transition measure)이라고 한다.
시그마 유한 추이 측도[편집]
두 가측 공간
와
사이의 추이 측도
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족
가 존재한다면,
를 시그마 유한 추이 측도(-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다.
![{\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq \aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77eb776fd9b8c7ecec1a7835282404c414aed7d)
![{\displaystyle Y=\bigcup {\mathcal {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9119604642ceabc18fa1be7dcac07cd62fcd0c4f)
![{\displaystyle \mu (x,B)<\infty \qquad \forall x\in X,\;B\in {\mathcal {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb48eeec1ab24517f3c8ec6cc0efd25d0858ca08)
두 가측 공간
와
사이의 추이 측도
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족
및
가 존재한다면,
를 균등 시그마 유한 추이 측도(均等-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다.
![{\displaystyle |{\mathcal {A}}|,|{\mathcal {B}}|\leq \aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151d8eb3730c30ccd864b0022d13212eac16471c)
![{\displaystyle X=\bigcup {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1797a7d2900eca3c339760aa4903f589cf5f7c1)
![{\displaystyle Y=\bigcup {\mathcal {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9119604642ceabc18fa1be7dcac07cd62fcd0c4f)
![{\displaystyle \sup _{x\in A}\mu (x,B)<\infty \qquad \forall A\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e3bfadfa3bf4e4bc171be8fa9a35b4a21a73cb)
유한 차원 곱공간 위의 측도[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 유한 개의 가측 공간
![{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})_{i=1,\dots ,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ff3410809c54e10c0a6b35388d7aee5cf9fc6b)
- 각
에 대하여,
와
사이의 시그마 유한 추이 측도
. (특히,
은
위의 시그마 유한 측도이다.)
그렇다면, 곱 가측 공간
위에 다음과 같은 시그마 유한 측도를 부여할 수 있다.
![{\displaystyle \mu \colon S\mapsto \int _{X_{1}}\int _{X_{2}}\cdots \int _{X_{n}}1_{S}(x_{1},\dots ,x_{n})\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall S\in \prod _{i=1}^{n}{\mathcal {F}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe6087213f8d676e21e86f48ebdadf7c8b95760)
이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도이다.
![{\displaystyle \mu \left(\prod _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\int _{A_{1}}\int _{A_{2}}\cdots \int _{A_{n}}\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f4ea2b36f54e12436aec3bfa9b346377b3d83e)
또한, 임의의 적분 가능 가측 함수
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \int _{\prod _{i=1}^{n}X_{i}}f\mathrm {d} \mu =\int _{X_{1}}\int _{X_{2}}\cdots \int _{X_{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32603cf83b6a4bb23599bb16881508faf69490d)
가산 차원 곱공간 위의 확률 측도[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 가산 무한 개의 가측 공간
![{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})_{i=1,2,\dots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e76fab276e810290b4fda484a6671d5194a4fa)
- 각
에 대하여,
와
사이의 확률 추이 측도
. (특히,
은
위의 확률 측도이다.)
그렇다면, 이오네스쿠툴체아 정리(-定理, 영어: Ionescu Tulcea theorem)에 따르면 곱 가측 공간
위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도
가 존재한다.
![{\displaystyle P\left(\prod _{i=1}^{n}A_{i}\times \prod _{i=n+1}^{\infty }X_{i}\right)=\int _{A_{1}}\int _{A_{2}}\cdots \int _{A_{n}}P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots P_{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})P_{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall n=1,2,\dots ,\;A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a020394ad6879426299c69e1b245f19958a20834)
범주론적 성질[편집]
3개의 가측 공간
,
,
및
위의 확률 추이 측도
및
위의 확률 추이 측도
가 주어졌을 때,
위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \nu \circ \mu \colon (x,C)\mapsto \int _{Y}\nu (y,C)\mu (x,\mathrm {d} y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632fb55c44c43be91a5e955a47ac0ef516d125d3)
확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간과 확률 추이 측도는 범주를 이룬다.
두 가측 공간
,
및
위의 측도
가 주어졌을 때, 함수
![{\displaystyle (x,B)\mapsto \mu (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bcfc521e411ae17c9614721b7cd4af9945302c)
는
와
사이의 추이 측도를 이룬다. 만약
가 시그마 유한 측도 · 확률 측도라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.
유한 이산 가측 공간
이 주어졌고, 행렬
가
![{\displaystyle \sum _{y\in \Omega }p(x,y)=1\qquad \forall x\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4361bc4f368afd48a40a78978dcc6566252d44a)
를 만족시킬 때, 함수
![{\displaystyle (x,B)\mapsto \sum _{y\in B}p(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056b9df33e13a06455d87f168f1f9b3b2702e289)
는
위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.
이오네스쿠툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠툴체아(루마니아어: Cassius Tocqueville Ionescu-Tulcea)가 증명하였다.[1]
참고 문헌[편집]
- ↑ Ionescu-Tulcea, Cassius Tocqueville (1949). “Mesures dans les espaces produits”. 《Atti della Accademia Nazionale dei Lincei Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (8)》 (프랑스어) 7: 208–211. MR 36288.