프라티니 논증
보이기
군론에서, 프라티니 논증(-論證, 영어: Frattini argument)는 유한군을 정규 부분군과 이 부분군의 쉴로브 부분군의 정규화 부분군의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.
정의[편집]
군 와 소수 가 주어졌고, 이 의 유한 정규 부분군이며, 가 의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 프라티니 논증에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:128, §6.3, Lemma 6.14
여기서 는 속 의 정규화 부분군이다.
증명[편집]
임의의 에 대하여, 은 의 쉴로브 p-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 에서 와 켤레이다. 즉,
인 이 존재한다. 따라서 이며,
이다.
응용[편집]
유한군 와 소수 가 주어졌고, 가 의 쉴로브 p-부분군이며, 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[1]:129, §6.3, Corollary 6.15
특히,
이다.
증명:
가 의 정규 부분군이며,
는 의 쉴로브 p-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여
이다.
역사[편집]
1885년에 조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini)가 유한군의 프라티니 부분군이 멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.
각주[편집]
- ↑ 가 나 Rose, Harvey E. (2009). 《A Course on Finite Groups》. Universitext (영어). London: Springer. doi:10.1007/978-1-84882-889-6. ISBN 978-1-84882-888-9. ISSN 0172-5939.
외부 링크[편집]
- “Frattini's argument”. 《ProofWiki》 (영어).