코시 적분 정리

코시의 적분정리(Cauchy's integral theorem)은 복소선적분에서의 중요한 정리 중 하나이다. 복소함수의 선적분은 양 끝점에만 좌우되는 것이 아니라, 경로 자체의 선택에도 의존한다. 만약 복소함수가 영역 D에서 해석적이고 D가 단순 연결 되었다면, 주어진 점들 사이의 경로선택에 의존하지 않는다. 이로써 복소선적분의 경로의존성으로부터 벗어날 수 있다.

정의

$f\left(z\right)$가 단순연결 정의역 D에서 해석적이면, D에 있는 모든 단순 닫힌 곡선 C에 대하여

$\oint \limits _{C}{f\left(z\right)}dz=0$

이다.

Cauchy의 적분공식

$f\left(z\right)$가 단순연결 영역 D에서 해석적이면, D에 있는 임의의 점 $z_{0}$와 $z_{0}$를 둘러싸고 있는 D안의 임의의 단순 닫힌 곡선 C에 대하여

$\oint \limits _{C}{\frac {f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if\left(z_{0}\right)$

가 성립된다. 여기서 적분의 방향은 반시계 방향이다. 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$f\left(z_{0}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz$