사용자:Muel07/작업장

페리 수열은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 $n$을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할수 있다.

• $F_{n}$: $0\leq h\leq k\leq n$이고 $(h,k)=1$을 만족하는 ${\frac {h}{k}}$를 오름차순으로 나열한 수열

예를 들어 ,4번째 페리 수열 $F_{4}$는 다음과 같이 나타낼수 있다.

$F_{4}$={⁰⁄₁, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ¹⁄₂, ²⁄₃, ³⁄₄, ¹⁄₁}

때때로 페리 수열을 페리 급수라고 부르지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니므로, 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.

성질

수열의 길이

n번째 페리 수열$F_{n}$의 정의에 따라 $0\leq h\leq k\leq n$과 $(h,k)=1$을 만족하는 모든 $h/k$는 $F_{n}$의 항이 된다. 한편 $0\leq h\leq k\leq n+1$과 $(h,k)=1$을 만족하는 모든 수는 $F_{n+1}$의 모든 항이기 때문에, $F_{n}$의 각 항은 $F_{n+1}$의 항이기도 하다. 따라서 $F_{n+1}$과 $F_{n}$의 길이는 $0<h\leq k=n+1$와 $(h,k)=1$를 동시에 만족하는 $h/k$의 수 만큼 차이나게 되므로 $F_{n}$의 길이에 관한 점화식은 오일러 피 함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$|F_{n+1}|=|F_{n}|+\varphi (n+1)$

즉, $|F_{n}|$은 계차가 $\varphi (n)$인 계차수열이고 $|F_{1}|=2$이기 때문에, 시그마 기호를 사용하여 $|F_{n}|$의 일반항을 나타내면

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)$

이웃한 항

페리 수열 $F_{n}$의 연속된 두 항을 각각 순서대로 $h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}$ 이라고 하면,

$k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1$

따라서, 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현 할 수 있다.

${\frac {h_{2}}{k_{2}}}-{\frac {h_{1}}{k_{1}}}={\frac {k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}}{k_{1}k_{2}}}={\frac {1}{k_{1}k_{2}}}$

연속된 세 항을 차례대로 $h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}$ 라고 할 경우,

${\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}$

이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.

$h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}$가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 $h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}$와 $h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}$는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로

$k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1$ ... (1)

$k_{2}h_{3}-k_{3}h_{2}=1$ ... (2)

(1)$\times h_{3}$$+$(2)$\times h_{1}$와 (1)$\times k_{3}$$+$(2)$\times k_{1}$를 각각 계산하여 정리하면

$h_{1}+h_{3}=h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})$

$k_{1}+k_{3}=k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})$

따라서,

${\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}={\frac {h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}{k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}}={\frac {h_{2}}{k_{2}}}$