라마누잔 타우 함수

라마누잔 타우 함수(Ramanujan Tau Function) $\;\;\tau (n)$는 타우 함수(Tau Function)로도 불린다.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$\tau (n)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

$\qquad =1x^{1}-24x^{2}+252x^{3}-1472x^{4}+4830x^{5}-6048x^{6}+....$

$\qquad =x(1-3x^{1}+5x^{3}-7x^{6}+....)^{8}$

$\qquad =x\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{24}$

$\qquad =\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)x^{n}$

라마누잔의 계산식

$\tau (n)(n-1)=\sum _{k=1}^{b_{n}}(-1)^{k+1}(2k+1)\left(n-1-9K\right)\tau \left(n-K\right)$

$b_{n}={{{\sqrt {8n+1}}-1} \over 2}$

$K={{k(k+1)} \over 2}$

따라서,

$\tau (n)(n-1)=\sum _{k=1}^{{{\sqrt {8n+1}}-1} \over 2}(-1)^{k+1}(2k+1)\left(n-1-{9 \over 2}k(k+1)\right)\tau \left(n-{1 \over 2}k(k+1)\right)$

데데킨트 에타 함수와의 관계

$\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)x^{n}=\eta (\tau )^{24}=\Delta (\tau )$

$x=e^{2\pi i\tau }$

$\eta (\tau )$ 데데킨트 에타 함수

같이 보기

• 약수함수
• L-함수