파일 설명
Equations
The observed angular velocity of the frame drag in the system of the coordinate bookkeeper far away from the mass is[1]
ω
=
2
a
r
Ξ
{\displaystyle {\rm {\omega ={\frac {2\ a\ r}{\Xi }}}}}
in units of
G
=
M
=
c
=
1
{\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}
and with
Σ
=
r
2
+
a
2
cos
2
θ
,
Δ
=
r
2
−
2
r
+
a
2
,
Ξ
=
(
a
2
+
r
2
)
2
−
a
2
sin
2
θ
Δ
{\displaystyle {\rm {\Sigma =r^{2}+a^{2}\ \cos ^{2}\theta ,\ \Delta =r^{2}-2\ r+a^{2},\ \Xi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }}}
The radius of gyration is given by[2]
R
¯
=
Ξ
Σ
{\displaystyle {\rm {{\bar {R}}={\sqrt {\frac {\Xi }{\Sigma }}}}}}
and the cartesian coordinates in the bookkeeper's frame of reference are
r
x
y
=
(
a
2
+
r
2
)
sin
2
θ
,
r
x
y
z
=
r
x
y
2
+
r
2
cos
2
θ
{\displaystyle {\rm {r_{xy}={\sqrt {(a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta }}}},\ {\rm {r_{xyz}}}={\rm {\sqrt {r_{xy}^{2}+r^{2}\cos ^{2}\theta }}}}
The gravitational time dilation component is
ς
=
Ξ
Σ
Δ
{\displaystyle {\rm {\varsigma ={\sqrt {\frac {\Xi }{\Sigma \ \Delta }}}}}}
so the observed transverse velocity of a frame dragged zero angular momentum probe is
u
⊥
=
Ω
o
b
s
=
ω
r
x
y
{\displaystyle {\rm {u_{\perp }=\Omega _{obs}=\omega \ r_{xy}}}}
and the local velocity
v
⊥
=
Ω
l
o
c
=
ω
R
¯
ς
{\displaystyle {\rm {v_{\perp }=\Omega _{loc}=\omega \ {\bar {R}}\ \varsigma }}}
That is exactly the speed of light at the outer edge of the outer ergosphere at
r
ergo
=
1
+
1
−
a
2
cos
2
θ
{\displaystyle {\rm {r_{\text{ergo}}=1+{\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}}}
which corresponds to a Boyer-Lindquist radius of
2
{\displaystyle 2}
and a cartesian radius of
2
2
+
a
2
{\displaystyle {\sqrt {\rm {2^{2}+a^{2}}}}}
at the equator.
References
↑ Andrei & Valeri Frolov: Rigidly rotating ZAMO surfaces in the Kerr spacetime , page 1, eq. 5
↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes , pages 5, 6 etc
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