랴푸노프 안정성
동역학계 이론에서, 랴푸노프 안정성(Ляпунов安定性, 영어: Lyapunov stability)은 동역학계의 평형점이 가질 수 있는 안정성 성질 가운데 하나이다. 대략, 랴푸노프 안정 평형점 부근에서 시작하는 동역학계의 모든 해는 영원히 이 평형점 주변에 머무르게 된다. 랴푸노프 안정성보다 더 강한 개념으로 점근적 안정성(漸近的安定性, 영어: asymptotic stability)과 지수적 안정성(指數的安定性, 영어: exponential stability)이 있다.
정의
다음과 같은 자율 동역학계가 주어졌다고 하자.
여기서 는 을 포함하는 열린 집합이며, 는 위에서 립시츠 연속이라고 하자. 또한, 는 평형점 를 갖는다고 가정하자. 즉,
이다. (만약 평형점 가 원점이 아닌 경우,로 치환하여, 항상 평형점을 원점으로 놓을 수 있다.)
이 경우, 이 자율 동역학계의 평형점 의 안정성은 다음과 같은 용어로 표현할 수 있다.
- 임의의 에 대하여, 이라면 인 가 존재한다면, 평형점 이 랴푸노프 안정하다고 한다.
- 만약 평형점 이 랴푸노프 안정하고, 또한 이면 인 가 존재하면, 평형점 이 점근적으로 안정하다고 한다.
- 만약 평형점 이 점근적으로 안정하고, 이면 인 가 존재한다면, 평형점 이 지수적으로 안정하다고 한다.
대략, 위 정의는 다음과 같이 생각할 수 있다.
- 랴푸노프 안정 평형점에서 "충분히 가까이" ( 이내의 거리에서) 시작된 해들은 영원히 평형점에 "충분히 가까이" ( 이내의 거리에) 머문다. 또한, 허용 오차 을 임의로 줄일 수 있다.
- 점근적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분히 가까이 머물 뿐만 아니라, 충분한 시간이 지나면 해당 평형점으로 수렴한다.
- 지수적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분한 시간이 지나면 적어도 어떤 알려진 비율에 따라 지수함수적으로 해당 평형점으로 수렴한다.
랴푸노프 함수
동역학계의 평형점의 안정 여부는 랴푸노프 함수(영어: Lyapunov function)라는 함수를 찾아 증명할 수 있다.[1]
동역학계 의 평형점이 이라 하자. 그리고 을 을 포함하는 정의역으로 두자. 다음과 같은 도함수가 연속인 함수 을 고려하자.
그러면 은 랴푸노프 안정하다. 만약 이라면 은 점근적으로 안정하다. 이러한 함수 를 랴푸노프 함수(영어: Lyapunov function)라고 한다.
역사
랴푸노프 안정성은 러시아의 수학자 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 땄다. 랴푸노프는 1982년 저서 《움직임의 안정성에 관한 일반 문제》[2] 에서 최초로 비선형 동역학계의 어떤 평형점 근처에서의 선형화를 다뤘다. 이 책은 러시아어로 출판되었고, 그 후 프랑스어로 번역되었는데, 오랫동안 주목을 받지 못하였다.
랴푸노프 이론은 냉전 시절에 항공우주 유도 시스템의 안정성을 다루기 위해 학계에서 주목받기 시작하였다. 이러한 동역학계는 보통 심하게 비선형적이어서, 랴푸노프 제2 방법 이외로는 쉽게 다룰 수 없다. 이후 관련 분야들이 제어 이론 및 동역학계 관련 문헌에서 널리 다뤄지고 있다.[3][4][5][6][7] 더욱 최근에는 랴푸노프의 제1 방법에서 쓰이는 랴푸노프 지수가 혼돈 이론에서 응용되고 있다.
참고 문헌
- ↑ Khalil, H. K., Nonlinear Systems, 3rd ed., Prentice Hall, New Jersey, 2002, ISBN 0130673897.
- ↑ Lyapunov, A. M. The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), Doctoral dissertation, Univ. Kharkov 1892 English translations: (1) Stability of Motion, Academic Press, New-York & London, 1966 (2) The General Problem of the Stability of Motion, (A. T. Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992. Included is a biography by Smirnov and an extensive bibliography of Lyapunov's work.
- ↑ Letov, A. M., Stability of Nonlinear Control Systems (Russian) Moscow 1955 (Gostekhizdat); English tr. Princeton 1961.
- ↑ Kalman, R. E.; Bertram, J. F., "Control system analysis and design via the second method of Lyapunov", J. Basic Engrg, vol. 88, pp. 371-394, 1960.
- ↑ LaSalle, J. P.; Lefschetz, S., Stability by Liapunov's direct method: with applications, Academic Press, New York, 1961.
- ↑ Parks, P. C., "Liapunov's method in automatic control theory", Control I Nov 1962 II Dec 1962.
- ↑ Kalman, R. E., "Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control", Proc Nat Acad.Sci USA, vol. 49, no. 2, pp. 201-205, 1963.
바깥 고리
- “Lyapunov stability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.