abc 추측

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수론에서, abc 추측(영어: abc conjecture)은 고차 거듭제곱을 인자로 갖는 두 수의 합은 보통 고차 거듭제곱 인자를 갖지 않는다는 추측이다. 이 추측을 엄밀히 표현할 때 등장하는 세 정수 a, b,c의 통상적인 기호 때문에 이 이름이 붙었다

정의[편집]

양의 정수 n근기(영어: radical) \operatorname{rad}(n)는 그 서로 다른 소인수들의 곱이다. 즉,

\operatorname{rad}(n)=\prod_{p | n}p

이다. 예를 들어, \operatorname{rad}(12)=6이다.

abc 추측에 따르면, 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수의 튜플 (a,b,c)은 유한개이다.

만약 \epsilon=0인 경우 abc 추측은 성립하지 않는다. 예를 들어,

(a,b,c)=(1,2^{6n}-1,2^{6n})

인 경우 임의의 n>1에 대하여 \operatorname{rad}(abc)<c이다.

역사[편집]

1985년에 데이비드 매서(영어: David W. Masser)가 발표하였고,[1] 1988년에 조제프 외스트를레(프랑스어: Joseph Oesterlé)가 이를 재발견하였다.[2]

2007년 프랑스의 수학자 뤼시앙 스피로(프랑스어: Lucien Szpiro)가 abc 추측의 증명을 발표하였으나, 곧 오류가 발견되었다. 2012년 8월에 모치즈키 신이치abc 추측의 증명을 발표하였다. 2012년 10월에 모치즈키의 증명에 약간의 오류가 발견되었으나, 모치즈키는 이것이 비교적 사소한 오류라고 답변하였고, 증명을 교정하였다. 현재 (2014년 1월) 모치즈키 논문의 최종 버전은 2013년 12월에 발표되었다. 모치즈키의 증명이 옳은지는 아직 학계에서 논란이 일고 있다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Masser, David W. (1985). 〈Open problems〉, 《Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory》. London: Imperial College
  2. (프랑스어) Oesterlé, Joseph (1988년). Nouvelles approches du «théorème» de Fermat. 《Astérisque》 (161): 165–186. MR992208. Zbl 0668.10024. ISSN 0303-1179.
  • (영어) Browkin, Jerzy, Juliusz Brzeziński (1994년 4월). Some remarks on the abc-conjecture. 《Mathematics of Computation》 62 (206): 931–939. doi:10.2307/2153551. JSTOR 2153551.
  • (영어) Browkin, Jerzy (2000년). 〈The abc-conjecture〉, 《Number Theory》, Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser, 75–106쪽. ISBN 3-7643-6259-6
  • (영어) Stewart, Cameron Leigh, Kunrui Yu (2001년). On the abc conjecture II. 《Duke Mathematical Journal》 108 (1): 169–181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6. Zbl 1036.11032. ISSN 0012-7094.

바깥 고리[편집]