아래는 페론-프로베니우스 정리(Perron-Frobenius theorem)에 대한 설명이다.
고유벡터 v 및 1 ≤ i ≤ n , 0 < v i {\displaystyle v{\text{ 및 }}1\leq i\leq n\;,\;0<v_{i}} 조건하에서
임의의 행렬 A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} 를 예약하고 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} 에 대하여 0 < a i j {\displaystyle 0<a_{ij}} 로 주어지는 n × n {\displaystyle n\times n} 의 양의 부호를 갖는행렬을 조건으로해서 A의 고유값 k {\displaystyle k} 가 0 < k {\displaystyle 0<k} 영역에서 나타남을 확인할 수 있다. 이어서 그 k {\displaystyle k} 로부터 확인할 수 있는 임의의 행렬의 모든 성분이 역시 양의 값을 갖는 고유벡터 v = ( v 1 , v 2 , . . . , v n ) {\displaystyle v=(v_{1},v_{2},...,v_{n})} 가 존재하는 것을 확인할 수 있다.
조건하에서
임을 확인할 수 있다.
를 예약하고 
에 대하여 
로 주어지는
의 양의 부호를 갖는행렬을 조건으로해서 A의 고유값 
가 
영역에서 나타남을 확인할 수 있다.
이어서 그로부터 확인할 수 있는 임의의 행렬의 모든 성분이 역시 양의 값을 갖는 고유벡터 
가 존재하는 것을 확인할 수 있다.
