콜라츠 추측

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유향 그래프는 콜라츠 추측의 조작에 의해 몇 개의 자연수들이 변하는 과정을 나타낸다. 콜라츠 추측이 참이라면 이 그래프는 모두 1에 연결된다.

콜라츠 추측 (Collatz conjecture)은 1937년에 처음으로 이 추측을 제기한 로타르 콜라츠의 이름을 딴 것으로 3n+1 추측, 울람 추측, 혹은 헤일스톤(우박) 수열 등 여러 이름으로 불린다. 콜라츠 추측은 임의의 자연수가 다음 조작을 거쳐 항상 1이 된다는 추측이다.

  1. 짝수라면 2로 나눈다.
  2. 홀수라면 3을 곱하고 1을 더한다.
  3. 1이면 조작을 멈추고, 1이 아니면 첫 번째 단계로 돌아간다.

예를 들어, 6 에서 시작한다면, 차례로 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 이 된다.

또, 27에서 시작하면 무려 111번을 거쳐야 1이 된다. 77번째에 이르면 9232를 정점으로 도달하다가 급격히 감소하여 34단계를 더 지나면 1이 된다.

이 추측은 컴퓨터로 20 × 258[1]까지 모두 성립함이 확인되었다. 그러나, 아직 모든 자연수에 대한 증명은 발견되지 않고 있다. 이 문제의 해결에 500달러의 현상금을 걸었던 에르되시 팔은 "수학은 아직 이런 문제를 다룰 준비가 되어 있지 않다."는 말을 남겼다.

다음과 같은 통계적인 설명을 생각하면 이 추측은 참일 가능성이 높아 보인다. 그러나 이것이 콜라츠 추측을 증명하는 것은 아니다.

이 조작에 의해 만들어지는 홀수들만 생각하면, 다음에 오는 홀수는 평균적으로 그 전의 수의 3/4정도의 값을 갖는다. 따라서 홀수의 수열은 점점 작아져 결국 1이 될 것이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

  • [2] (콜라츠 추측에 대한 분산 컴퓨팅 프로젝트)