유한 퍼텐셜 우물

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무한 퍼텐셜 우물은 이상적인 계로서 양자 역학의 기본 개념을 잘 내포하고 있지만 실제로 구현되기 어렵다.

반면에 유한 퍼텐셜 우물(Finite potential well)의 경우 실재를 기술하기에 더 적절하다. 그 예로 GaAs층이 Ga1-xAlxAs 의 두 층 사이에 끼어있는 경우 유한 퍼텐셜 우물로써 기술할 수 있다.

정의[편집]

1차원 공간에서 퍼텐셜이 다음과 같은 구조를 가질 때 이 계를 유한 퍼텐셜 우물이라고 한다.


V(x) = 
\begin{cases}
0 , & \mbox{if }x<0\mbox { outside} \\
-V_0 , & \mbox{if }0<x<a\mbox { inside}\\
0 , & \mbox{if }a<x\mbox { outside}
\end{cases}
abc

유도[편집]

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)을 풀면 입자가 유한 퍼텐셜 우물속에 있을 때의 현상을 살펴볼 수 있다.

-V_0<E<0인 경우 (속박 상태)[편집]

\psi = 
\begin{cases} 
\psi_1, & \mbox{if }x<0\mbox{ (the region outside the well)} \\
\psi_2, & \mbox{if }0<x<a\mbox{ (the region inside the well)} \\
\psi_3 & \mbox{if }x>a\mbox{  (the region outside the well)}
\end{cases}

라 하자.

각 영역에서 슈뢰딩거 방정식는 다음과 같다.

-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = E \psi_1
-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} -V_0 \psi_2 = E \psi_2
-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_3}{d x^2} = E \psi_3
k=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}
q=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}

라고 놓으면 각 영역의 해는 다음과 같다.


\begin{align}
\psi_1(x)&=e^{qx}\\
\psi_2(x)&=Ae^{ikx}+ Be^{-ikx}\\
\psi_3(x)&=Ce^{-qx}
\end{align}

경계 조건(x=0x=a 에서 \scriptstyle \psi\quad \scriptstyle \frac{d \psi}{dx}\quad 가 연속인 조건)을 이용하면 계수를 구할 수 있고, 포텐셜 우물에서의 해를 구하게 되는 것이다.

정리하면


\begin{align}
1&=A+B\\
q&=ik(A-B)\\
Ae^{ika}+Be^{-ika}&=Ce^{-qa}\\
ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})&=-qCe^{-qa}
\end{align}

이 되고, 연립방정식을 풀면 계수는 다음과 같다.


\begin{align}
A&=\frac{1}{2}\left(1-i\frac{q}{k}\right)=B^*\\
B&=\frac{1}{2}\left(1+i\frac{q}{k}\right)\\
C&=\frac{1}{2}e^{qa}\left(\frac{k}{q}+\frac{q}{k}\right)\sin{ka}
\end{align}

경계 조건을 잘 정리하면

ka=(n-1)\pi+2\cos^{-1}{\sqrt{1+\frac{E}{V_0}}}\ (n=1,2,3,4,...)

을 얻을 수 있고, 이 식과 처음에 정의했던

k=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}

을 그래프로 그려보면 속박 상태를 확인할 수 있다. 이때 그래프의 교점으로부터 속박상태의 에너지를 구할 수 있다. 최종적으로 계산한 파동함수는 다음과 같다.


\begin{align}
\psi_1(x)&=e^{qx}\\
\psi_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{E}{V_0}}}\sin\left\{k\left(x-\frac{a}{2}\right)+\frac{n\pi}{2}\right\}\\
\psi_3(x)&=(-1)^{n+1}e^{-q(x-a)}
\end{align}

E>0인 경우(산란 상태)[편집]

DISCUSSION[편집]

V_0의 크기가 무한히 커지는 경우 무한 퍼텐셜 우물이 된다. 유한 퍼텐셜 우물의 깊이가 깊어짐에 따라 그래프의 교점의 개수가 증가함을 확인할 수 있으므로 속박상태의 개수가 증가함을 알 수 있다.

퍼텐셜 우물의 경우 우물이 생긴 모양에 따라 대칭성을 이용하면 직관적으로 이해하기 용이하다. Qunatum Dot, Quantum well, Superlattice 같은 구조를 갖는 계의 경우 유한 퍼텐셜 우물의 관점에서 물리적인 현상을 기술할 수 있다.

같이 보기[편집]

참고 자료[편집]

  • Paul Harrison (1999). 《Quantum Wells》. Wiley: Wires and Dots
  • 송희성. 《양자역학》. 교학연구사