사이클로이드

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사이클로이드 곡선

사이클로이드직선 위로 을 굴렸을 때 원 위의 정점이 그리는 곡선이다.

방정식[편집]

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선의 방정식은 원이 각도 t만큼 굴렀을 때는,

 x = r ( t - \sin t )
 y = r ( 1 - \cos t )

길이[편집]

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디의 길이는


\begin{align}
l
&= \int _{0} ^{2\pi} \sqrt {\left ( \frac {dx} {dt} \right) ^2 + \left ( \frac {dy} {dt} \right) ^2 }dt \\
& = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt { \left( \frac {d r ( t - \sin t )} {dt} \right) ^2 + \left( \frac {d r ( 1 - \cos t )} {dt} \right) ^2 } dt \\
& = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt {(r ( 1 - \cos t ) ) ^2 + (r \sin t) ^2 } dt \\
& = \int _{0} ^{2\pi} r \sqrt { 2 - 2 \cos t } dt \\
& = \int _{0} ^{2\pi} 2r \sin \frac {t}{2}  dt \\
& = 8r
\end{align}
이성립된다

넓이[편집]

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디와 x축 사이의 넓이는

 S=3 \pi r^2

특징[편집]

시점과 종점이 같은 직선과 사이클로이드 중에서, 그 위를 같은 시간 안에 더 빨리 물체가 움직이는 것은 사이클로이드이다.