사이클로이드

사이클로이드 곡선

사이클로이드는 직선 위로 원을 굴렸을 때 원 위의 정점이 그리는 곡선이다.

방정식

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선의 방정식은 원이 각도 t만큼 굴렀을 때는,

$x = r ( t - \sin t )$

$y = r ( 1 - \cos t )$

길이

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디의 길이는

$\begin{align} l &= \int _{0} ^{2\pi} \sqrt {\left ( \frac {dx} {dt} \right) ^2 + \left ( \frac {dy} {dt} \right) ^2 }dt \\ & = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt { \left( \frac {d r ( t - \sin t )} {dt} \right) ^2 + \left( \frac {d r ( 1 - \cos t )} {dt} \right) ^2 } dt \\ & = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt {(r ( 1 - \cos t ) ) ^2 + (r \sin t) ^2 } dt \\ & = \int _{0} ^{2\pi} r \sqrt { 2 - 2 \cos t } dt \\ & = \int _{0} ^{2\pi} 2r \sin \frac {t}{2} dt \\ & = 8r \end{align}$

넓이

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디와 x축 사이의 넓이는

$S=3 \pi r^2$