레인-엠덴 방정식

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n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6인 경우의 각각의 레인-엠덴 방정식의 해.

레인-엠덴 방정식(Lane-Emden equation)은 천체물리학에서 구면대칭적으로 분포한 폴리트로프 유체가 자체 중력으로 침하할 때 그 중력 퍼텐셜에 대한 푸아송 방정식을 차원이 없는 형태로 변형한 것이다. 천체물리학자 조너선 호머 레인로버트 엠덴의 이름이 붙었다.[1] 방정식은 다음과 같은데

 \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0

여기서 \xi는 차원이 없는 반경이고 \theta\rho=\rho_c\theta^n 관계로 밀도에 관계있는 값이다. 이때 \rho_c는 중심 밀도이다. 지수 n은 폴리트로프 상태 방정식

 P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}\,

에서 나타나는 폴리트로프 지수이다. P\rho는 각각 압력과 밀도이고, K는 비례상수이다. 표준 경계 조건은 \theta(0)=1, \theta'(0)=0이다. 압력, 밀도, 반지름의 추세를 설명하는 해는 지수 n폴리트로프(polytropes)라고 한다.

[편집]

  1. Lane, Jonathan Homer (1870). On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment. The American Journal of Science and Arts 50: 57–74.