감쇠비

감쇠비(減衰比, damping ratio)는 보통 ζ (제타)로 표시되는, 이계 상미분 방정식의 주파수응답 특성을 나타내는 값이다.

질량 m, 감쇠계수 c, 강성 k인 감쇠조화진동계의 감쇠비는 다음과 같이 주어진다.

$\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}} = \frac{c}{2m \omega_n }$

미분방정식에서의 감쇠비의 의미

감쇠조화진동의 지배방정식은 다음과 같다.

$m\ddot x + c \dot x + kx = 0$.

고유진동수 $\omega_n = \sqrt{k/m}$와 감쇠비를 도입하면,

$\ddot x + 2\zeta\omega_n \dot x + \omega_n^2 x = 0$.

미분방정식의 해를 $x=Ae^{st}$ 꼴이라고 하면, 특성방정식은 다음과 같다.

$s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2 = 0$

따라서

$s = - \zeta \omega_n \pm \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}$

과감쇠

특성방정식이 두 개의 실근을 갖는 경우를 과감쇠(overdamped)라고 하며, 이때 응답은 지수적으로 감소하며, 진동은 발생하지 않는다.

$x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left[ Ae^{\sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n t} + Be^{-\sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n t} \right]$

여기서 A와 B는 초기조건으로부터 결정되는 상수이다.

임계감쇠

임계감쇠(critically damped)는 감쇠비 $\zeta = 1$인 경우로 특성방정식은 하나의 실근(중근)을 가지며, 과감쇠와 저감쇠의 경계가 된다. 과감쇠와 마찬가지로 응답이 지수적으로 감소하며, 진동이 발생하지 않는다.

초기조건 $x(0) = x_0$, $\dot x(0) = \dot x_0$을 갖는 임계감쇠의 경우, 미분방정식의 해는 다음과 같다.

$x(t) = e^{-\omega_n t} \left[ x_0 \left( 1 + \omega_n t \right) + \dot x_0 t \right]$

저감쇠

특성방정식이 두 개의 허근을 갖는 경우를 저감쇠(underdamped)라고 하며, 이 때는 진동이 발생한다. 즉, 응답은 지수적으로 감소함과 동시에 진동을 한다.

초기조건 $x(0) = x_0$, $\dot x(0) = \dot x_0$에 대한 해는,

$x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left[ x_0 \cos {\omega_D t} + \frac{\dot x_0 + \zeta \omega_n x_0}{\omega_D} \sin {\omega_D t} \right]$

여기서 감쇠진동수 ω_D는 다음과 같다.

$\omega_D = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

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