감쇠비

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감쇠비(減衰比, damping ratio)는 보통 ζ (제타)로 표시되는, 이계 상미분 방정식의 주파수응답 특성을 나타내는 값이다.

질량 m, 감쇠계수 c, 강성 k인 감쇠조화진동계의 감쇠비는 다음과 같이 주어진다.

 \zeta  = \frac{c}{2 \sqrt{km}} = \frac{c}{2m \omega_n }

미분방정식에서의 감쇠비의 의미[편집]

감쇠조화진동의 지배방정식은 다음과 같다.

 m\ddot x + c \dot x + kx = 0 .

고유진동수 \omega_n = \sqrt{k/m}와 감쇠비를 도입하면,

 \ddot x + 2\zeta\omega_n \dot x + \omega_n^2 x = 0 .

미분방정식의 해를 x=Ae^{st} 꼴이라고 하면, 특성방정식은 다음과 같다.

 s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2 = 0

따라서

 s = - \zeta \omega_n \pm \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}

과감쇠[편집]

특성방정식이 두 개의 실근을 갖는 경우를 과감쇠(overdamped)라고 하며, 이때 응답은 지수적으로 감소하며, 진동은 발생하지 않는다.

 x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left[ Ae^{\sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n t} + Be^{-\sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n t} \right]

여기서 A와 B는 초기조건으로부터 결정되는 상수이다.

임계감쇠[편집]

임계감쇠(critically damped)는 감쇠비 \zeta = 1인 경우로 특성방정식은 하나의 실근(중근)을 가지며, 과감쇠와 저감쇠의 경계가 된다. 과감쇠와 마찬가지로 응답이 지수적으로 감소하며, 진동이 발생하지 않는다.

초기조건 x(0) = x_0, \dot x(0) = \dot x_0을 갖는 임계감쇠의 경우, 미분방정식의 해는 다음과 같다.

 x(t) = e^{-\omega_n t} \left[ x_0 \left( 1 + \omega_n t \right) + \dot x_0 t \right]

저감쇠[편집]

특성방정식이 두 개의 허근을 갖는 경우를 저감쇠(underdamped)라고 하며, 이 때는 진동이 발생한다. 즉, 응답은 지수적으로 감소함과 동시에 진동을 한다....

초기조건 x(0) = x_0, \dot x(0) = \dot x_0에 대한 해는,

 x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left[ x_0 \cos {\omega_D t} + \frac{\dot x_0 + \zeta \omega_n x_0}{\omega_D} \sin {\omega_D t} \right]

여기서 감쇠진동수 ωD는 다음과 같다.

\omega_D = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}

함께읽기[편집]