피카르-린델뢰프 정리: 두 판 사이의 차이

입체적으로 역사 찾아보기

← 이전 편집 다음 편집 →

내용 삭제됨 내용 추가됨

시각위키텍스트

인라인

2020년 4월 27일 (월) 17:53 판

동역학계 이론에서, 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

정의

초깃값 문제

y'(t)=f(t,y(t))

y(0)=y_{0}

를 생각하자.

피카르-린델뢰프 정리

열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 연속 함수 $f\colon [0,a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}$ 가 주어졌다고 하자. 또한, $f$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 $L\geq 0$ 가 존재한다고 하자 (립시츠 조건, 영어: Lipschitz condition).

|f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [0,a]\times U

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 $y_{0}\in U$ 에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 $0<a'\leq a$ 에 대하여 유일한 국소적 해 $y\colon [0,a']\to \mathbb {R} ^{n}$ 를 갖는다. 만약 $U=\mathbb {R} ^{n}$ 일 경우, 임의의 $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ 에 대하여, 위 초깃값 문제는 유일한 대역적 해 $y\colon [0,a]\to \mathbb {R} ^{n}$ 를 갖는다.^[1]^{:12, §3.2, Theorem 3.1}

오스굿 조건

보다 일반적으로, 열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 연속 함수 $f\colon [0,a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}$ 가 주어졌고, $f$ 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 $F\colon (0,\infty )\to (0,\infty )$ 가 존재한다고 하자 (오스굿 조건, 영어: Osgood condition).

\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} r}{F(r)}}=\infty

|f(t,y)-f(t,z)|\leq F(|y-z|)\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [0,a]\times U

그렇다면, 임의의 $y_{0}\in U$ 에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 $0<a'\leq a$ 에 대하여 유일한 국소적 해 $y\colon [0,a']\to \mathbb {R} ^{n}$ 를 갖는다.

립시츠 조건은 오스굿 조건에서 $F\colon r\mapsto Lr$ 을 취하여 얻을 수 있다.

다른 정리와의 관계

피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건을 제시한다. 페아노 존재 정리는 $y$ 에 대하여 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(영어: Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(영어: weak solution)의 존재만을 결론내린다.

역사

샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)^[2] 가 증명하였다.

참고 문헌

↑ O’Regan, Donal (1997). 《Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations》. Mathematics and Its Applications (영어) 398. Dordrecht: Springer. doi:10.1007/978-94-017-1517-1. ISBN 978-90-481-4835-6.
↑ Lindelöf, E. (1894). “Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences》 (프랑스어) 116: 454–457.

Coddington, Earl A.; Norman Levinson (1955). 《Theory of ordinary differential equations》 (영어). McGraw-Hill.
Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.

외부 링크

“Cauchy-Lipschitz theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Osgood criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Picard's existence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[O’Regan-1] O’Regan, Donal (1997). 《Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations》. Mathematics and Its Applications (영어) 398. Dordrecht: Springer. doi:10.1007/978-94-017-1517-1. ISBN 978-90-481-4835-6.

[2] Lindelöf, E. (1894). “Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences》 (프랑스어) 116: 454–457.

[1]

[2]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-[[동역학계 이론]]에서, '''피카르-린델뢰프 정리'''({{llang|en|Picard–Lindelöf theorem}})는 [[초기 조건 문제]]의 해의 존재에 대한 정리이다.
+[[동역학계 이론]]에서, '''피카르-린델뢰프 정리'''({{llang|en|Picard–Lindelöf theorem}})는 1계 [[상미분 방정식]]의 [[초깃값 문제]]의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.
 == 정의 ==
-[[초기 조건 문제]]
+[[초깃값 문제]]
 :<math>y'(t)=f(t,y(t))</math>
-:<math>y(t_0)=y_0</math>
+:<math>y(0)=y_0</math>
+를 생각하자.
-에서 <math>f</math>가 <math>y</math>에 대하여 [[립시츠 연속 함수]]이며, <math>t</math>에 대하여 [[연속 함수]]라고 하자. 그렇다면 <math>t_0</math>의 충분히 작은 [[근방]]에서, 위 초기 조건 문제는 유일한 해를 갖는다.
+=== 피카르-린델뢰프 정리 ===
+[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon[0,a]\times U\to\mathbb R^n</math>가 주어졌다고 하자. 또한, <math>f</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 <math>L\ge 0</math>가 존재한다고 하자 ('''립시츠 조건''', {{llang|en|Lipschitz condition}}).
+:<math>|f(t,y)-f(t,z)|\le L|y-z|\qquad\forall(t,y),(t,z)\in[0,a]\times U</math>
+'''피카르-린델뢰프 정리'''에 따르면, 임의의 <math>y_0\in U</math>에 대하여, 위 [[초깃값 문제]]는 어떤 <math>0<a'\le a</math>에 대하여 유일한 국소적 해 <math>y\colon[0,a']\to\mathbb R^n</math>를 갖는다. 만약 <math>U=\mathbb R^n</math>일 경우, 임의의 <math>y_0\in\mathbb R^n</math>에 대하여, 위 [[초깃값 문제]]는 유일한 대역적 해 <math>y\colon[0,a]\to\mathbb R^n</math>를 갖는다.<ref name="O’Regan">{{서적 인용
+|성=O’Regan
+|이름=Donal
+|제목=Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations
+|언어=en
+|총서=Mathematics and Its Applications
+|권=398
+|출판사=Springer
+|위치=Dordrecht
+|날짜=1997
+|isbn=978-90-481-4835-6
+|doi=10.1007/978-94-017-1517-1
+}}</ref>{{rp|12, §3.2, Theorem 3.1}}
+=== 오스굿 조건 ===
+보다 일반적으로, [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon[0,a]\times U\to\mathbb R^n</math>가 주어졌고, <math>f</math>에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>F\colon(0,\infty)\to(0,\infty)</math>가 존재한다고 하자 ('''오스굿 조건''', {{llang|en|Osgood condition}}).
+:<math>\int_0^1\frac{\mathrm dr}{F(r)}=\infty</math>
+:<math>|f(t,y)-f(t,z)|\le F(|y-z|)\qquad\forall(t,y),(t,z)\in[0,a]\times U</math>
+그렇다면, 임의의 <math>y_0\in U</math>에 대하여, 위 [[초깃값 문제]]는 어떤 <math>0<a'\le a</math>에 대하여 유일한 국소적 해 <math>y\colon[0,a']\to\mathbb R^n</math>를 갖는다.
+립시츠 조건은 오스굿 조건에서 <math>F\colon r\mapsto Lr</math>을 취하여 얻을 수 있다.
 == 다른 정리와의 관계 ==
-피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건을 제시한다. [[페아노 존재 정리]](Peano existence theorem)는 <math>y</math>에 대하여 [[립시츠 연속|립시츠 연속성]] 대신 [[연속함수|연속성]]만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. [[카라테오도리 존재 정리]](Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(weak solution)의 존재만을 결론내린다.
+피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건을 제시한다. [[페아노 존재 정리]]는 <math>y</math>에 대하여 립시츠 조건 대신 [[연속 함수|연속성]]만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. [[카라테오도리 존재 정리]]({{llang|en|Carathéodory's existence theorem}})는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해({{llang|en|weak solution}})의 존재만을 결론내린다.
 == 역사 ==
@@ 19번째 줄: / 44번째 줄: @@
 == 외부 링크 ==
-* {{eom|title=Cauchy-Lipschitz theorem}}
+* {{eom|제목=Cauchy-Lipschitz theorem}}
+* {{eom|제목=Osgood criterion}}
 * {{매스월드|id=PicardsExistenceTheorem|title=Picard's existence theorem}}