큰 수의 법칙(큰 數의 法則, 영어: law of large numbers) 또는 대수의 법칙, 라플라스의 정리는 큰 모집단에서 무작위로 뽑은 표본의 평균이 전체 모집단의 평균과 가까울 가능성이 높다는 통계와 확률 분야의 기본 개념이다.
약한 법칙
큰 수의 약한 법칙(또는 대수의 약법칙)은 확률 변수의 무한열 X1, X2, X3, ...이 모두 같은 기댓값 μ, 분산 σ2을 가지고 서로 상관 관계가 없을 때(임의의 두 확률 변수 사이의 상관 계수가 0), 표본의 평균
이 μ로 수렴한다는 것이다. 다시 적자면, 어떤 작은 양의 수 ε에 대해서도
이 성립한다.
일반화
대수의 약법칙은 각 확률 변수의 기댓값 과 분산 이 다르더라도 분산의 합 이 무한대로 발산한다면 성립한다. 이 경우의 공식화는 임의의 작은 양수 ε에 대해서 다음과 같다.[1]
성립 조건
위의 일반화된 대수의 약법칙이 성립할 조건을 약화시킬 수 있다. 먼저 를 다음과 같이 정의하자.
그러면, 의 확률변수열이 위의 일반화된 대수의 약법칙에 따르기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.[2]
강한 법칙
큰 수의 강한 법칙(또는 대수의 강법칙)은 확률 변수의 무한열 X1, X2, X3, ... 이 주어지고, 각 확률 변수가 E(|Xi|) < ∞ 이고 (기댓값 μ), 서로 독립이며 동일한 분포일 때,
이 성립한다. 즉 표본의 평균은 거의 확실하게 μ로 수렴한다.
같이 보기
주석
- ↑ 최용갑, 《확률론의 기초》, 경문사, 2006, 228쪽.
- ↑ 같은 책, 231쪽.
참고 문헌
- 최용갑, 《확률론의 기초》, 경문사, 2006.