최대넓이 최소너비 다각형

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최대넓이 최소너비 다각형(Biggest Little Polygon)은 다각형의 너비가 1일때, 넓이가 최대인 다각형이다. 다각형의 너비는 두 꼭지점의 거리중 최대값이다.

카를 라인하르트1922년에 홀수각형에서 정다각형이 위의 도형이 됨을 보였다. [1] 사각형의 넓이는 두 대각선의 길이의 곱에 각의 사인값을 곱하고 2로 나눈값이므로, 두 대각선의 길이가 1로(등대각선 사각형), 직교하고,(직교대각선 사각형) 한 변의 길이가 1이하인 모든 사각형이 조건을 만족한다.

n=6이상인 경우는 미해결이었으나, n=6인 경우는 1975년에 로날드 그레이엄(Ronald Lewis Graham)[2]정육각형보다 넓이가 큰 다각형을 발견했다. 그 넓이는 4096 x10 +8192 x9 -3008 x8 -30848 x7 +21056 x6 +146496 x5 -221360x4 +1232x3+144464x2 -78488x +11993 =0을 만족하는 근으로[2], 대략 0.674981 (OEIS의 수열 A111969)이다. n=8인 경우도 정다각형보다 넓이가 큰 다각형이 발견되어 있다.

주석[편집]

  1. Reinhardt, K. "Extremale Polygone gegebenen Durchmessers." Jahresber. Deutsch. Math. Verein 31, 251-270, 1922.
  2. Graham, R. L "The Largest Small Hexagon." J. Combin. Th. Ser. A 18, 165-170, 1975. [1]