다음은 와바의 문제에 관한 내용이다.
정적 자세 결정[편집]
정적인 자세 결정은 고정된 시간에서 알고 있는 특정 물체의 방향을 측정하는 별센서와 같은 광학센서등을 이용하여 현재 우주비행체의 자세를 결정하는 방법이다. 즉,
, ,
여기에서 는 현재 우주비행체의 자세를 기준좌표계에 대하여 나타내는 방향코사인행렬이고, 는 알고 있는 별의 방향을 가르키는 벡터로 기준좌표계에서 표현되어 있고, 는 별센서에서 측정된 해당 별의 방향벡터로 우주비행체의 몸체좌표계로 표현되어있고, 은 현재 고정된 시간에서 관측된 별 방향 벡터의 갯수이다. 이렇게 주어진 와 로 를 결정하는 것이 정적 자세 결정 문제이다.
와바의 문제[편집]
정적 자세 결정 문제는 다음과 같이 의 값이 최소가 되게하는 자세, 즉 방향코사인행렬 를 찾는 문제로 표현될 수 있다.
여기서 는 각 측정 벡터의 잡음의 세기에 반비례하도록 가중치를 주는데 사용되는 상수이다. 이 최적화 문제는 와바(Wahba)가 처음으로 제시하였으며 와바의 문제라고 불린다.[1]
퀘스트 (QUEST: Quaternion Estimation) 알고리즘[편집]
퀘스트는 슈스터 (Shuster)와[2][3]오 (Oh)가 만든 방법이며[4] 쿼터니언 (Quaternion) 추정 (Quaternion Estimation)의 줄임말이다. 퀘스트 알고리즘은 와바의 자세 최적화 결정 문제를 매우 효율적인 방법으로 푼다. 이 알고리즘은 아래와 같이 요약된다.
우선 를 와 를 이용하여 아래와 같이 구성한다.
여기서 는 흔히 해당 측정잡음 분산의 역수가 사용된다.
아래식을 이용하여 를 계산한다.
여기서 det(는 행렬식이고 adj()는 수반(adjugate) 행렬(고전적_수반_행렬)이고, 이는 다음과 같이 주어진다.
여기서 는 의 i번째 행 j번째 열의 값이다.
를 다음과 같이 구성한다.
와바의 문제는 다음과 같은 행렬 에 대해
고유치 문제를 아래와 같이 푸는데, 여기서 최대 고유치를 찾는 문제로 바뀐다.
이 고유치 문제는 아래 4차다항식 방정식을 만족하는 최대크기의 를 계산하는 문제로 바뀐다. 즉,
여기서 계수를 아래와 같이 계산한다.
이 다항식을 0 이 되게하는 가장 큰 를 구하는데는 흔히 Newton-Raphson 방법이 (뉴턴_방법) 쓰인다. Newton-Raphson 방법을 사용할 때 초기 의 값은 보통 1에서 출발한다. 그 이유는 최대 이 1 근처에 있는 것으로 알려져있기 때문이다.
를 계산했으면, 다음단계는 아래와 같다.
그러면 최적의 쿼터니언 ()은 다음과 같이 계산된다.
참고 문헌[편집]