사용자:Bark10731/연습장 일치 동역학

일치 동역학(consensus dynamics)은 여러개의 상태(state)들이 서로간의 상호작용을 통해 시간이 경과함에 따라 주어진 초기 상태들에서 동일한 상태로 수렴하는 현상을 다루는 연구 분야를 일컫는다. 쉬운 예를 들면, 서로 온도가 다른 두 방이 붙어 있을 때 두 방을 연결하는 방문을 열어놓고 시간이 지나면 더운 공기와 찬 공기가 방문을 통해 섞이면서 시간이 지남에 따라 두 방의 온도가 같은 온도로 수렴하게 된다. 만약 두 방이 문으로 연결되어 있지 않고 서로 고립되어 있으며 외부와의 열 출입이 차단되어 있다면 두 방의 온도는 같은 값으로 수렴하지 않을 것이다. 여기에서 각 방의 온도는 두 개의 다른 상태를 의미하고, 연결된 문을 통해 공기가 흐르는 과정은 두 상태간의 상호작용을 의미한다. 만약 상태의 갯수가 여러개로 늘어나고 상태들 간의 연결 여부가 복잡하게 구성되어 있으면 상태들이 특정 값으로 수렴 할 수 있는지, 만약 수렴 한다면 어떤 값으로 수렴 할 지, 어떠한 변화 속도로 수렴 할 지 등의 문제가 자연스럽게 대두되고, 이러한 문제들을 다루는 분야로 일치 동역학이 나타나게 되었다.

단일 적분기 모델에 대한 일치

다음과 같은 시스템을 고려하자.

${\dot {x}}_{i}=\sum _{j\in {\mathcal {N}}_{i}}(x_{j}-x_{i}).$

여기서 $x$를 $x=[x_{1}~~\ldots ~~x_{n}]^{T}$으로 두면 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\dot {x}}=-Lx.$

이 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

$x=\exp[-Lt]x(0).$