사용자토론:Bonho Koo/연습장

파일:Floating Water Bridge.png

Floating Water Bridge in electric field

정의

탈이온수(deionized water)가 담긴 두 비커에 고전압(10kV 이상)을 걸어주게 되면 두 비커의 물이 마치 다리처럼 이어지는 현상이 일어나는데 이를 Water Bridge 현상이라고 한다.

동영상 : [Floating Water Bridge in electric field]

아직 이 현상을 구체적으로 부르는 명칭은 없으나 보통 Floating water bridge 혹은 간단하게 Water Bridge로 불린다. 이 water bridge 현상처럼 유체와 전기장 사이의 현상을 다루는 학문을 전기유체역학(Electrohydrodynamics)이라고 분류하며, 이에 가장 유명한 현상은 Taylor cone 현상이 있다.

역사

이 현상은 1893년도에 영국의 과학자 Lord Armstrong에 의해 세상에 공식적으로 알려졌으나,이에 대한 분석과 원인은 120여년이 지난 최근에 와서 실험적으로 검증되었다. 많은 과학자들이 이 현상을 전기적 현상으로만 설명하려 했기 때문이다. 하지만 이론적인 부분은 아직도 일부 미 해결 상태로 남아있다.

이론

현재까지 검증된 Water Bridge의 형성 원인은 크게 두 가지 이다. 첫 번째는 dielectric medium인 물에 전기장이 가해져, 물 분자들 간의 인력(tension)이 세져서 생긴 영향이고, 다른 하나는 bridge의 surface tension에 의해 생긴 수직한 방향의 힘 영향이다.

Dielectric Tension

파일:Polarization atom.jpg

Displacement Field

먼저, 물질에 전기장이 걸리게 되면, 이 물질의 분자들은 왼쪽의 모식도와 같이 분극(polarization)을 일으키게 된다. 원자핵과 전자구름이 전기장에 의해 Coulomb force를 받아 미세하게 분리되기 때문이다. 이 분극 된 분자들은 회전하여 일정한 방향으로 정렬하게 되는데, 이 때, 걸어준 전기장에 비례해서 분극이 일어나는 물질을 선형유전체(Linear dielectric)이라고 한다. 분극의 영향 때문에 유전체 안에서 전기장은 처음 걸어준 전기장의 크기보다 작아지게 된다. 이러한 영향을 고려해 준 것이 바로 유전율(permittivity)ε이고, 이때 분극된 분자들이, 걸어준 field의 영향을 감소시키는 screening effect를 고려해주어,

파일:Dielectric medium in electric field.jpg

dielectric medium 안에서의 field를 Displacement Field D = εE라고 새롭게 정의하게 된다(linear dielectric medium 일 경우).

Dielectric Tension

분자들이 전기장의 영향을 받아 분극되면, 이 분자들은 (+)charge와 (-)charge가 있는 쌍극자(dipole)로 생각할 수 있다. 이 때, 이 쌍극자들은 왼쪽 그림과 같이 가해준 field와 같은 방향으로 일정하게 정렬하게 된다. 그렇게 되면, 자연스럽게 이 분극된 분자들, 즉 dipole 사이에 인력이 작용하게 되어 기존의 수소결합보다 더 큰 분자 간의 인력을 갖게 된다. 이 힘이 바로 water bridge가 만들어지는 주된 역할을 하게 되는 것이다. 분자들 사이에 인력, 즉 dielectric tension을 구하기 위해, 먼저 charge density를 구해보자.

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$

[8] 식에 의해, 도선 내부의 전기장은 전류와 그 크기와 방향이 비례하고, bridge를 크게 휘어지지 않은 cylinder라고 가정하면^{에 근거}.

$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$

$\mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$

파일:Boundary condition in dielectric meduim.jpg

[9],[10] 식에 의해 bridge 내부에서 bound volume charge density는 0이 된다. 나아가, surface charge density σ에 대해 알아보기 위해, 오른쪽 그림과 같은 permitivity가 다른 두 경계면에 displacement field $\mathbf {D_{1}} ,\mathbf {D_{2}}$가 생겼다고 하자. 여기에 boundary condition을 적용하면,

파일:Figuration of water bridge.jpg

$(\mathbf {D} _{2}-\mathbf {D} _{1})\cdot \mathbf {A} =\sigma \mathbf {A}$

$\sigma =\epsilon E_{2n}-\epsilon _{0}E_{1n}$

가 된다($\epsilon$는 물의 permittivity, $\epsilon _{0}$는 진공의 permittivity). 이제 water bridge의 tension을 구하기 위해, bridge의 양 끝의 단면 잘라 왼쪽 그림과 같이 모식도화 시키자. 이는 전류가 흐르는 하나의 저항이라고 생각할 수 있으므로, [8]식에 의해, 내부에서 단면적과 electric field는 수직하다. 또한, 단면을 자른 것이기 때문에 $\mathbf {E} _{2}=\mathbf {E} _{1}=\mathbf {E}$ 가 된다.^{에 근거} 따라서,

$\sigma =\epsilon E_{2n}-\epsilon _{0}E_{1n}=(\epsilon -\epsilon _{0})E$

을 만족하게 된다. 나아가, 이 양 끝의 surface charge는 bridge에 걸려있는 electric field에 의해, (+)surface charge는 field와 같은 방향으로, (-)surface charge는 field와 반대 방향으로 coulomb force를 받게 된다. 즉, 그림과 같이 양옆으로 잡아 당겨지는 힘 장력(tension)을 받게 되는 것이다. 이 힘이 바로 이 water bridge 모형에서 field에 의해 생기는 tension in dielectric medium을 의미한다. 축 늘어져 있는 줄에서 분자들이 서로 잡아당기는 힘은, 최종적으로 줄의 양 끝에서 잡아당기는 힘과 동일하기 때문이다.

Dielectric tension의 크기를 $T_{DT}$라 하고, bridge의 단면적을 $A$라고 하면,

$T_{DT}=QE=\sigma AE=(\epsilon -\epsilon _{0})AE^{2}$

가 된다. 임의의 지점에서 물의 무게와 tension의 비율을 구하기 위해서는, $T_{DT}$의 수직한 성분 $T_{DTvertical}$을 알아야 한다. 이에 Curvature(곡률) 개념을 도입하면,

$T_{DTvertical}=T_{DT}sin\theta =T_{DT}{\frac {x}{R}}=T_{DT}x\xi$

가 된다. 이 힘이 임의의 지점까지의 물의 무게를 지탱해야 하므로, water bridge의 곡률이 작다고 가정하면(거의 곧다고 가정)^{에 근거}, 물의 무게는

$mg=\rho xAg$

가 된다. 현재까지는, dielectric tension이 물의 무게에 얼만큼의 비율을 차지하는지 모르므로, 물의 무게와 field에 의한 수직한 힘 간의 비율을 $f_{DT}$라 하면,

$f_{DT}={\frac {T_{DTvertical}}{mg}}={\frac {(\epsilon -\epsilon _{0})AE^{2}x\xi }{\rho xAg}}={\frac {(\epsilon -\epsilon _{0})\xi E^{2}}{\rho g}}$

의 식을 얻어 낼 수 있다.

Surface Tension

Dielectric Tension 이론의 한계점

Water bridge 현상은 기본적으로 전자기적 현상으로 간주되었기 때문에, 지금까지 이러한 측면에서 찾으려는 시도만이 주류를 이루었다. 하지만 더 많은 변인을 통한 과학 실험으로, dielectric tension 이론으로는 설명되지 않는 현상을 발견하게 되었다. 그것은 바로 "water bridge가 얼마나 길어질 수 있는가"에 관한 문제였다. 기존의 dielectric tension 이론에 의하면, bridge에 걸리는 tension은 $E^{2}$와 단면적 A에 대해 비례관계를 갖는다. 이는 water bridge에 걸어주는 E와 A를 통제하면, bridge의 길이를 충분히 늘려줄 수 있음을 의미한다. 실제로 이 이론을 통하면, water bridge는 약 3.5cm ~ 4.5cm 까지 늘려주는 것이 가능하다. 하지만, 실제 실험에서는 아무리 voltage를 늘려도 bridge length는 2.5cm 이상을 넘어 갈 수 없다는 결과가 나온다. Dielectric tension의 영향만 고려하여 발생한 한계점인 것이다.

Surface Tension

이러한 현상을 설명하기 위해 Artem A. Aerov는 surface Tension도 역시 water bridge를 형성하는데 영향을 준다는 가설을 세웠다. 이 이론에 따르면, tension은

$T_{ST}={\frac {1}{2}}\gamma l$

을 값을 가진다. 이는 모두 bridge의 기하학적 구조에서 나온 값으로써, l은

$l=2\pi r=\pi D$

의 값을 갖고, bridge의 cross-section parimeter라 불린다.$\gamma$는 surface tension coefficient[Newton/Meter]라 불리우며, 대략

$\gamma \approx {\frac {\rho LAg}{l}}cot\theta$

의 크기를 가진다. 이 $\gamma$ factor는 보이는 바와 같이 Aerov의 추측에 의해 나타내어진 값으로서, 실험적으로만 검증되었고, 이론적으로는 아직까지 남아있는 미해결과제 중의 하나이다.

Surface tension으로 설명하는 Aerov의 이론에서도, 전기장은 반드시 걸어주어야 한다. 그 이유는 surface tension이 bridge에 수직으로 작용하여 중력을 상쇄하는 역할($\gamma l$)도 하지만, 스스로 droplet이 되려는 성질($-{\frac {1}{2}}\gamma l$)도 갖고 있는데, (위의 $T_{ST}$는 이 두 가지 영향을 모두 고려한 값이다) 전기장을 걸어주면 표면에 있는 분자들의 polarization 때문에 droplet 되려는 성질을 완화시키고 surface tension의 영향을 더 보강해 줄 수 있기 때문이다. 실험에 의하면 수평방향의 electric field의 크기는 ${\sqrt {\gamma }}$와 양의 상관관계를 갖는 것으로 나타났다. 나아가, surface tension 역시 물의 무게에 작용하는 비율을 알아보기 위해, 그 값을 $f_{ST}$라고 하면,

$f_{ST}={\frac {T_{STvertical}}{mg}}={\frac {2\gamma \xi }{\rho gD}}$

의 비율을 가지게 된다. 이제, 위에서 구한 $f_{DT},f_{ST}$이 실험적으로 어떠한 값을 갖는지 알아볼 것이다.

Experiment

파일:Experiment of water bridge.JPG

파일:COMSOL Multiphysics.JPG

COMSOL Multiphysics

이제, 위의 이론들을 실험적으로 점검하기 위해 다음과 같은 설계를 준비한다. 먼저 비커 2개에 불순물이 없는 deionized water(증류수)를 채운다. 이 때, 안정성을 위해, 실험에 쓰일 고전압 장치와 왼쪽 그림에는 표현되지 않은 [안전저항]($50M\Omega$)과 전류를 측정하기 위한 저항($100\Omega$)을 직렬로 연결해 준다. 한편, 실험하는 동안 가장 큰 영향을 주는 조건은 물의 저항이다. Deionized water이기 때문에, 물에 조금의 이산화탄소가 더 녹아들어가도, 저항의 fluctuation은 매우 크다. 측정에 따르면, 물은 $25^{o}C$에서 $1.8M\Omega$의 값을 갖고, $45^{o}C$에서 $1M\Omega$을 갖는다. 이는 온도에 의한 저항의 증가율보다 $CO_{2}$가 녹아들어감에 따라 증가하는 전기전도도가 더 크다는 사실을 말해준다. 이에, 측정시간이 길어짐에 따라, 물의 온도와 주변 이산화탄소 농도가 변하지 않도록 주의 깊게 체크해야한다.

Water bridge의 기하학적 구조를 측정하기 위해, 위쪽과 정면으로 카메라를 설치하여 bridge의 길이, 정면에서 본 반지름, 위에서 본 반지름, 곡률을 측정할 수 있게한다. 시간에 따라 전압을 높여 주면서 water bridge의 diameter, current intesity, bridge에 걸리는 전압의 세기를 시간에 따라 기록한다(평균 반지름은 정면에서 본 반지름과 위에서 본 반지름의 기하평균을 한다) 마지막으로, 임의의 지점의 tension의 크기를 구하기 위해서는, potential의 크기를 알아야 하는데, 이는 Laplace equation과 boundary condition을 COMSOL Multiphysics 소프트웨어에 대입하여 컴퓨터를 이용하여 구한다. 오른쪽의 그래프는, 이를 이용하여 구한 potential의 그래프이다.

Result & Anlysis

파일:Experimental result of water bridge.jpg

오른쪽의 그래프는 위에서 설계된 실험을 통해, 시간에 따라 도선의 전체 전압($V_{HV}$)을 변화시키며 측정한 값들이다. 차례로 시간과 Diameter($m$), Current Intensity($mA$), water bridge 전압($V_{e}$) 의 관계를 나타낸 그래프이다. 그래프를 살펴보면, 전지의 전압($V_{HV}$)이 커질 때, current intensity 와 diameter는 똑같이 비례적으로 증가하지만 water bridge에 걸리는 전압($V_{e}$)은 일정하다는 사실을 알 수 있다. Water Bridge에 걸리는 전압 $V_{e}$는

$V_{e}=IR_{WB}={\frac {Il}{gA}}={\frac {4Il}{\pi gD^{2}}}$

의 식(g는 conductivity, l은 bridge이 길이, D는 water bridge의 diameter)을 만족한다. 이는 current intensity와 diameter에 대해, I가 증가하는 비율과 $D^{2}$이 증가하는 비율이 동일하다는 것을 의미한다. 두 값이 linear하게 증가하여야 water bridge에 걸리는 전압($V_{e}$)가 일정하기 때문이다. 하지만, 이 diameter가 증가하는 정확한 이유와, 정량적으로 intensity와 $D^{2}$이 증가하는 비율이 같다는 사실 역시, 아직 미해결상태로 남아있다.

또한, 이 결과는 도선 전체의 voltage를 아무리 늘려줘도 water bridge에 걸려있는 electric field의 크기를 늘려줄 수 없음을 의미한다. Current intensity와 $D^{2}$가 비례한다면,

$\mathbf {E} ={\frac {1}{g}}\mathbf {J} ={\frac {\mathbf {I} }{gA}}={\frac {4\mathbf {I} }{\pi gD^{2}}}$

식에 의해, $\mathbf {E}$는 변하지 않기 때문이다.

파일:Result of experiment.jpg

나아가, 왼쪽 그래프는 실험을 통해 측정한 값들(diameter, current density, electric field, curvature)을 dielectric tension과 물의 무게 비율 $f_{DT}={\frac {(\epsilon -\epsilon _{0})\xi E^{2}}{\rho g}}$ 와, surface tension과 물의 무게 비율 $f_{ST}={\frac {2\gamma \xi }{\rho gD}}$

에 대입하여 나타낸 그래프이다. 그래프에서 x축 좌표는 diameter, y축 좌표는 물의 무게와의 비율을 의미한다. 이 그래프로부터 두 가지 중요한 사실을 알 수 있다.

첫째, dielectric tension과 surface tension의 합이 bridge의 무게(그래프에서 y축 좌표 1)와 같다는 것과, 이 때 두 힘이 bridge의 무게를 지탱하는데 차지하는 비율이 각각 반에 가까워 어느 한쪽도 무시할 수 없다는 것이다.

둘째, diameter가 두꺼워질수록 dielectric tension의 영향이 커지고, diameter가 얇아질수록 surface tension의 영향이 커지는 것을 graph에서 확인할 수 있다. Bridge 사이의 간격을 고정시킨뒤, voltage 크게 해주면 일시적으로 field의 크기가 증가한다. 이는 분자 간의 polarization을 크게하여, attractive force를 증가시키므로, 이에 dielectric tension에 의한 영향이 커짐을 알 수 있다. 또한,voltage가 세지면, 전류가 증가하기 때문에, ion들의 가속도 또한 증가하게 된다. 따라서 x축의 오른쪽으로 갈 수록 그래프의 fluctuation이 심해지게 되고, 이 영향은 평균적으로 정지 상태라고 가정한 결과 값에 약 8%의 오차를 가진다.

결론적으로, dielectric tension과 surface tension은 floating water bridge 무게의 약 50% 씩을 차지하여, 두 힘 모두 고려해야 한다는 사실이 실험을 통해서 확인되었다. 그러나 아직 $\gamma$ factor, ${\sqrt {I}}$와 diameter의 비례적 증가에 대한 정량적인 분석 등이 미 해결상태로 남아있는 상황이다.