민코프스키 정리

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수론에서, 민코프스키 정리(영어: Minkowski’s theorem)는 볼록집합이 어떤 격자점을 포함할 충분조건에 대한 정리다.

정의[편집]

격자 L\subset\mathbb R^n볼록집합 S\subset\mathbb R^n이 주어졌다고 하자. 또한, S=-S라고 하자 (즉, S는 원점에 대하여 대칭이다). 민코프스키 정리에 따르면, 만약

\operatorname{vol}(S)>2^n\det L

이라면 S\cap L\ne\varnothing이다. 즉, S는 적어도 하나의 격자점을 포함한다.

응용[편집]

민코프스키 정리는 수체의 유수(class number)에 대한 민코프스키 상계(Minkowski bound)의 증명에 등장한다. 이에 따라서 수체의 유수가 항상 유한함을 보일 수 있다.

또한, 민코프스키 정리는 라그랑주의 네 제곱수 정리의 증명에도 등장한다.

역사[편집]

헤르만 민코프스키가 1896년 증명하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. H. Minkowski, Geometrie der Zahlen.
  • Enrico Bombieri, Walter Gubler (2006). 《Heights in Diophantine Geometry》. Cambridge U. P.
  • John Horton Conway, N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
  • Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
  • Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
  • Siegel, Carl Ludwig (1989). 《Lectures on the Geometry of Numbers》. Springer-Verlag
  • Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

바깥 고리[편집]