구간의 분할: 두 판 사이의 차이
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수학에서, [[실직선]] 위의 구간 {{math|[''a'', ''b'']}}의 '''분할'''(分割, {{llang|en|partition}})이란 다음의 |
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[[File:Integral Riemann sum.png|thumb|300px|[[리만 합]]에서 사용하는 구간의 태그된 분할. 분할 자체는 아래의 회색 선으로 표시하였고, 그 중 한 부분구간을 빨간색으로 나타내었다.]] |
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다르게 말하면, [[콤팩트 공간|콤팩트]] 구간 {{mvar|I}}의 분할이란 {{mvar|I}}의 시작점에서 끝점까지 순증가하는 수들로 구성된 수열이다. 각 구간 {{math|[''x''<sub>''i''</sub>, ''x''<sub>''i'' + 1</sub>]}}을 분할의 '''부분구간'''이라 한다. |
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== 분할의 세분 == |
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구간 [a,b]의 분할 {{mvar|P}}와 {{mvar|Q}}에 대해, {{mvar|Q}}가 {{mvar|P}}의 모든 점을 포함할 때 {{mvar|Q}}를 {{mvar|P}}의 '''세분'''({{llang|en|refinement}})이라 하고 {{mvar|Q}}가 {{mvar|P}}보다 섬세하다고 한다. 또 두 분할 {{mvar|P}}와{{mvar|Q}}에 대하여 두 분할의 모든 점들로 구성된 분할을 '''공통세분'''이라 하고 {{math|''P'' ∨ ''Q''}}라 쓴다.<ref>{{cite book|last=Brannan|first=D. A.|title=A First Course in Mathematical Analysis|publisher=Cambridge University Press|year=2006|isbn=9781139458955|page=262|url=https://books.google.com/books?id=N8bL9lQUGJgC&pg=PA262}}</ref> 어떤 분할이 다른 분할의 세분일 때, 더 섬세한 분할이 더 크다고 순서 관계를 정의하면 이는 [[부분 순서 집합|부분 순서]]가 된다. |
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의 '''노름'''({{llang|en|norm}}) 또는 '''메시'''({{llang|en|mesh}})란 각 부분구간들의 길이의 최댓값 |
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이다.<ref>{{Cite book|last=Hijab|first=Omar|title=Introduction to Calculus and Classical Analysis|publisher=Springer|year=2011|isbn=9781441994882|page=60|url=https://books.google.com/books?id=_gb9fMqur9kC&pg=PA60}}</ref><ref>{{Cite book|author=Zorich, Vladimir A.|title=Mathematical Analysis II|publisher=Springer|year=2004|isbn=9783540406334|page=108|url=https://books.google.com/books?id=XF8W9W-eyrgC&pg=PA108}}</ref> |
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== 태그된 분할 == |
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주어진 구간에 대해 '''태그된 분할'''({{llang|en|tagged partition}})이란<ref>{{cite book|last1=Dudley|first1=Richard M.|last2=Norvaiša|first2=Rimas|title=Concrete Functional Calculus|publisher=Springer|year=2010|isbn=9781441969507|page=2|url=https://books.google.com/books?id=fuuB59EiIagC&pg=PA2}}</ref> 각 {{mvar|i}}에 대해 다음 조건 |
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을 만족하는 수들로 구성된 유한 수열 {{math|''t''<sub>0</sub>, ..., ''t''<sub>''n'' − 1</sub>}}을 가지는 분할이다. |
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다시 말해 태그된 분할이란 각 부분구간들에서 점을 한 개씩 선택한 분할로, 기존 분할과 동일하게 노름을 정의한다. 태그된 분할 {{mvar|P}}와 {{mvar|Q}}에 대해 {{mvar|Q}}가 {{mvar|P}}의 분할 위의 모든 점들과 함께 모든 태그들, 즉 각 부분구간에서 선택한 점들을 모두 포함할 때 {{mvar|Q}}가 {{mvar|P}}의 세분이라 한다. |
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구간의 분할은 [[리만 적분]]과 리만-스틸체스 적분에서 사용된다. 주어진 구간의 분할이 더 섬세할수록 분할의 노름은 0에 가까워지고, 따라서 [[리만 합]]은 [[리만 적분|리만 적분값]]에 수렴한다.<ref>{{cite book|last1=Ghorpade|first1=Sudhir|last2=Limaye|first2=Balmohan|title=A Course in Calculus and Real Analysis|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387364254|page=213|url=https://books.google.com/books?id=Ou53zXSBdocC&pg=PA213}}</ref> |
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== 같이 보기 == |
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* [[리만 합]] |
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* [[집합의 분할]] |
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== 각주 == |
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== 참고 문헌 == |
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* {{cite book | last=Gordon | first=Russell A. | title=The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Ralph Henstock | series=Graduate Studies in Mathematics, 4 | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, RI | year=1994 | isbn=0-8218-3805-9 }} |
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[[분류:실해석학]] |
2022년 6월 25일 (토) 17:26 판
수학에서, 실직선 위의 구간 [a, b]의 분할(分割, 영어: partition)이란 다음의
- a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
관계에 있는 실수 x0, x1, x2, ..., xn로 구성된 유한 수열이다.
다르게 말하면, 콤팩트 구간 I의 분할이란 I의 시작점에서 끝점까지 순증가하는 수들로 구성된 수열이다. 각 구간 [xi, xi + 1]을 분할의 부분구간이라 한다.
분할의 세분
구간 [a,b]의 분할 P와 Q에 대해, Q가 P의 모든 점을 포함할 때 Q를 P의 세분(영어: refinement)이라 하고 Q가 P보다 섬세하다고 한다. 또 두 분할 P와Q에 대하여 두 분할의 모든 점들로 구성된 분할을 공통세분이라 하고 P ∨ Q라 쓴다.[1] 어떤 분할이 다른 분할의 세분일 때, 더 섬세한 분할이 더 크다고 순서 관계를 정의하면 이는 부분 순서가 된다.
분할의 노름
아래처럼 주어진 분할
- x0 < x1 < x2 < ... < xn
의 노름(영어: norm) 또는 메시(영어: mesh)란 각 부분구간들의 길이의 최댓값
- max{|xi − xi−1| : i = 1, ... , n }
태그된 분할
주어진 구간에 대해 태그된 분할(영어: tagged partition)이란[4] 각 i에 대해 다음 조건
- xi ≤ ti ≤ xi + 1
을 만족하는 수들로 구성된 유한 수열 t0, ..., tn − 1을 가지는 분할이다. 다시 말해 태그된 분할이란 각 부분구간들에서 점을 한 개씩 선택한 분할로, 기존 분할과 동일하게 노름을 정의한다. 태그된 분할 P와 Q에 대해 Q가 P의 분할 위의 모든 점들과 함께 모든 태그들, 즉 각 부분구간에서 선택한 점들을 모두 포함할 때 Q가 P의 세분이라 한다.
리만 합
구간의 분할은 리만 적분과 리만-스틸체스 적분에서 사용된다. 주어진 구간의 분할이 더 섬세할수록 분할의 노름은 0에 가까워지고, 따라서 리만 합은 리만 적분값에 수렴한다.[5]
같이 보기
각주
- ↑ Brannan, D. A. (2006). 《A First Course in Mathematical Analysis》. Cambridge University Press. 262쪽. ISBN 9781139458955.
- ↑ Hijab, Omar (2011). 《Introduction to Calculus and Classical Analysis》. Springer. 60쪽. ISBN 9781441994882.
- ↑ Zorich, Vladimir A. (2004). 《Mathematical Analysis II》. Springer. 108쪽. ISBN 9783540406334.
- ↑ Dudley, Richard M.; Norvaiša, Rimas (2010). 《Concrete Functional Calculus》. Springer. 2쪽. ISBN 9781441969507.
- ↑ Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2006). 《A Course in Calculus and Real Analysis》. Springer. 213쪽. ISBN 9780387364254.
참고 문헌
- Gordon, Russell A. (1994). 《The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Ralph Henstock》. Graduate Studies in Mathematics, 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.