일반성을 잃지 않고: 두 판 사이의 차이
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2022년 5월 1일 (일) 07:32 판
일반성을 잃지 않고(영어: Without loss of generality)는 수학에서 자주 사용되는 표현이다. 이 용어는 그 다음에 나타나는 대상의 임의적인 선택이 전제를 특정 경우로 좁히지만 일반적으로 증명의 유효성에 영향을 미치지 않는다는 가정을 나타내는 데 사용된다. 명시되지 않은 다른 경우는 제시된 것과 기본적으로 동일하고 충분히 유사한 논리를 통해 증명한다.[1] 결과적으로 특정 사례에 대한 증명이 일단 주어지면 다른 모든 사례에서 결론을 증명하기 위해 이를 적용하는 방법은 자명하다.
많은 사례에서 "일반성을 잃지 않고"의 사용은 대칭의 존재로 인해 가능하다. [2] 예를 들어, 실수의 일부 성질 P (x, y)가 x 및 y에서 대칭인 것으로 알려진 경우, 즉 P (x, y)가 P (y, x)와 동치이면 모든 x 및 y 에 대해 P (x, y)를 증명할 때 "일반성을 잃지 않고" x ≤ y 라고 가정할 수 있다. x ≤ y ⇒ P (x, y) 경우가 일단 증명되면 y ≤ x ⇒ P (y, x )와 같이 x 와 y를 교환하여 다른 경우가 뒤따르고, P의 대칭에 의해 이는 P (x, y)를 의미하므로 P (x, y)가 모든 경우에 성립한다. 따라서 이 가정에서 일반성의 손실이 없다.
반면에 그러한 대칭(또는 다른 형태의 동치성)이 확립될 수 없는 경우 "일반성을 잃지 않고"의 사용은 올바르지 않으며 예시를 든 증명(en:proof by example)의 경우에 해당할 수 있다. 이는 비대표적인 예를 증명함으로써 주장을 증명하는 논리적 오류이다.[3]
예시
세 물체가 빨간색 혹은 파란색으로 색칠되어 있다면 이 중 두 개는 같은 색이다.
증명은 다음과 같다.
일반성을 잃지 않고, 첫번째 물체가 빨간색이라고 가정하자. 다른 두 물체 중 하나가 빨간색이면 증명이 끝난다. 만약 그렇지 않다면 두 물체는 둘 다 파란색이므로 증명이 끝난다.
위의 주장은 대안적인 가정, 즉 첫 번째 대상을 파란색으로 가정하거나 유사하게 '빨간색'과 '파란색'이라는 단어가 증명의 문구에서 자유롭게 교환될 수 있는 경우에도 똑같은 추론이 적용될 수 있기 때문에 효과가 있다. 결과적으로 "일반성을 잃지 않고"의 사용은 이 경우에 유효하다.
참고문헌
- ↑ Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). 《Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics》 2판. Pearson/Addison Wesley. 80–81쪽. ISBN 978-0-321-39053-0.
- ↑ Dijkstra, Edsger W. (1997). 〈WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223)〉. Broy, Manfred; Schieder, Birgit. 《Mathematical Methods in Program Development》 (PDF). NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences 158. Springer. 33–34쪽. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.
- ↑ “An Acyclic Inequality in Three Variables”. 《www.cut-the-knot.org》. 2019년 10월 21일에 확인함.