교환 가능 확률 변수족

확률론과 통계학에서, 교환 가능 확률 변수족(交換可能確率變數族, 영어: exchangeable sigma-algebra)은 유한 개를 재배열하여도 결합 확률 분포가 변하지 않는 확률 변수 집합이다. 교환 가능 사건(交換可能事件, 영어: exchangeable event) 또는 순열 가능 사건(順列可能事件, 영어: permutable event) 또는 대칭 사건(對稱事件, 영어: symmetric event)은 유한 개의 확률 변수를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건이다. 교환 가능 시그마 대수(交換可能σ代數, 영어: exchangeable sigma-algebra)는 교환 가능 사건들로 구성된 시그마 대수이다.

정의

교환 가능 사건

두 집합 $A$, $B$의 대칭차는 다음과 같다.

$A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

집합 $A$에 대하여, $\operatorname {fp} (A)$가 $\pi (a)\neq a$인 $a\in A$의 수가 유한한 전단사 함수 $\pi \colon A\to A$의 집합이라고 하자.

실수 수열 $x\in {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }$ 및 $\pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )$에 대하여,

$\pi x=(x_{\pi (i)})_{i\in \mathbb {N} }$

이라고 하자.

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ 위의, 실수 수열 $({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }))$ 값의 확률 변수

$X\colon \Omega \to {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }$

의 교환 가능 시그마 대수는 다음과 같다.

${\mathcal {E}}(X)=\{X^{-1}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }),\;\operatorname {Pr} (X^{-1}(B)\bigtriangleup (\pi X)^{-1}(B))=0\forall \pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )\}$

교환 가능 시그마 대수의 원소를 교환 가능 사건이라고 한다.

교환 가능 확률 변수족

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ 위의, 실수 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 값의 확률 변수들의 집합

$(X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{i\in I}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $(X_{i})_{i\in I}$를 교환 가능 확률 변수족이라고 한다.

• 임의의 유한 집합 $J\subseteq I$ 및 두 전단사 함수 $i,j\colon \{1,\dots ,|J|\}\to J$에 대하여, $(X_{i(1)},\dots ,X_{i(|J|)})$와 $(X_{j(1)},\dots ,X_{j(|J|)})$의 확률 분포는 같다.
• 임의의 $n=1,2,\dots$ 및 두 단사 함수 $i,j\colon \{1,\dots ,n\}\to I$에 대하여, $(X_{i(1)},\dots ,X_{i(n)})$와 $(X_{j(1)},\dots ,X_{j(n)})$의 확률 분포는 같다.

데 피네티 정리(영어: de Finetti’s theorem)에 따르면, 만약 $I$가 가산 무한 집합일 경우, 다음 네 조건이 서로 동치이다.^{:232, §7.3, Theorem 2}

• $(X_{i})_{i\in I}$는 교환 가능 확률 변수족이다.
• $(X_{i})_{i\in I}$는 어떤 사건 시그마 대수 ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
• $(X_{i})_{i\in I}$는 꼬리 시그마 대수 ${\mathcal {T}}(X_{i})_{i\in I}$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
• $(X_{i})_{i\in I}$는 ${\mathcal {E}}(X_{i})_{i\in I}$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.

성질

교환 가능 확률 변수족이 주어졌을 때, 만약 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, (콜모고로프 0-1 법칙에 따라 독립 동일 분포 확률 변수족의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수족의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 휴잇-새비지 0-1 법칙(영어: Hewitt–Savage zero–one law)이라고 한다.

예

모든 꼬리 사건은 교환 가능 사건이다.

모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다.

역사

데 피네티 정리는 브루노 데 피네티(이탈리아어: Bruno de Finetti)의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt)과 레너드 지미 새비지(영어: Leonard Jimmie Savage)의 이름을 땄다.

외부 링크

• Accardi, L. (2001). “De Finetti theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.