추상대수학에서 호흐실트 호몰로지(영어: Hochschild homology)와 호흐실트 코호몰로지(영어: Hochschild cohomology)는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
-결합 대수 ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
-쌍가군
. 즉,
은
-쌍가군이며, 또한
위의 왼쪽
-작용이 오른쪽
-작용과 일치한다고 하자.
호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.
- 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
- 호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체(영어: Hochschild (co)chain complex)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
- 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.
흔히,
인 특수한 경우가 자주 사용된다.
추상적 정의[편집]
의 포락 대수(包絡代數, 영어: enveloping algebra)
![{\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd6d414a8d71e1f43014c0b11e5505c41442eca)
를 정의할 수 있다. 이는
-결합 대수이며,
은
-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로,
도
의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,
![{\displaystyle (a\otimes _{K}b^{\operatorname {op} })\cdot m=a\cdot m\cdot b\qquad \forall a,b\in A,m\in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e247018cce3045ed8fee9843e303891d5508d23)
![{\displaystyle (a\otimes _{K}b^{\operatorname {op} })\cdot c=a\cdot c\cdot b\qquad \forall a,b,c\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312f770f99bd530749827e2083948f83fba948c4)
이다.
의
계수의 호흐실트 호몰로지 군
및 호흐실트 코호몰로지 군
은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A;M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{\operatorname {e} }}(A,M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d36816055a64598b4b1e233bb3a46cb14a05b8b)
![{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)=\operatorname {Ext} _{A^{\operatorname {e} }}^{n}(A,M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b865ca1c010448d7d6c6f583ec1bd2ca611d6b2a)
구체적 정의[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
-가군 범주의 단체 대상 ![{\displaystyle (X_{\bullet },\partial _{\bullet ,i},s_{\bullet ,i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7520bf2c295e9e1e81ba1496969d16d0e5473b05)
그렇다면,
![{\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9899a3ba8925473c3153c158f71b10a6cab79f54)
를 정의하면,
![{\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f7f433f0e441e776d514f60ec2e7b6da8ab5e5)
이 되어, 사슬 복합체
![{\displaystyle \dotsb {\xleftarrow {\partial }}X_{2}{\xleftarrow {\partial }}X_{1}{\xleftarrow {\partial }}X_{0}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b755cb24cd6d99a43f75c86b5931eb15713719)
를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군
의 호흐실트 호몰로지라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체
![{\displaystyle X^{n}=\hom _{K}(X_{n},K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80c1686b814d1a3d59a9093a97dc5882fb7a0e5)
![{\displaystyle 0\to X^{1}\to X^{2}\to \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a63072a45bcf956382d0f407cdf169e971c580)
의 코호몰로지를 단체 가군
의 호흐실트 코호몰로지라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상
이 쓰이지 않는다.)
특히, 만약 위와 같이
위의 결합 대수
와
-쌍가군
이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군(영어: Hochschild simplicial module)
을 정의할 수 있다.[1]:45, (1.6.1.2)
![{\displaystyle C_{n}(A;M)=M\otimes _{K}A^{\otimes _{K}n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0dd3094690c47d4943afdfb488195ac5f97920)
![{\displaystyle \partial _{n,i}\colon C_{n}(A;M)\to C_{n+1}(A;M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43ab66b41cef11061a6dbe49a5b9dec277bc2a)
![{\displaystyle \partial _{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto {\begin{cases}(ma_{1})\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}&i=0\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}a_{n}&0<i<n\\a_{n}m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}&i=n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648a6119ab2a13cf8aee60869341c3cf002343ea)
![{\displaystyle s_{n,i}\colon C_{n}(A;M)\to C_{n-1}(A;M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ce4c98fe64c99682c767388f6eb0e5dae0f4df)
![{\displaystyle s_{n,i}\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3991fa35f1fac693f12f31a49f699141450b6ba1)
결합 대수
의
계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.
은 사슬 복합체로서
![{\displaystyle M\otimes _{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21893328fa3bec03300c2f94d032224287e695f5)
의 꼴이다. 여기서
는
의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체
![{\displaystyle C^{\bullet }(A;M)=\hom _{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A),M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272670ba46ec31c4371a5dff976674502b8fe2a1)
를 정의할 수 있으며,
의
계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.
위상수학적 정의[편집]
계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
속의 단체 대상
. 여기서
은 단체 범주이다.
그렇다면, 단체 가군의 범주
은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.
이 경우,
의 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.[1]:§6.2
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(X)=\operatorname {Tor} _{n}^{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}(K_{\bullet },X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af31edcd6a0faa94effced5555b51081d9a03e43)
![{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(X)=\operatorname {Ext} _{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}^{n}(X,K_{\bullet })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bed0a025ce834b9796cf7534aa2345b55bb56d)
여기서
는 모든 성분이 1차원 자유 가군
이며,
및
모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.
(사실, 만약
이라면, 호흐실트 단체 가군
는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주
에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.[1]:213, Theorem 6.2.8[1]:214, Theorem 6.2.9)
가환환
위의 결합 대수
및
-쌍가군
에 대하여, 호흐실트 호몰로지
및 호흐실트 코호몰로지
는
-가군이며, 사실
-가군을 이룬다.[1]:10, §1.1.5
함자성[편집]
임의의 가환환
위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주
와,
-결합 대수
가 주어졌을 때
-쌍가군의 범주
를 생각하자.
그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.[1]:10, §1.1.4
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}\colon {}_{A}\operatorname {Mod} _{A}\to \operatorname {Mod} _{\operatorname {Z} (A)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4fd0a5f3f2de69b59d5ae50ebaad5bd57ad582)
![{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}\colon {}_{A}\operatorname {Mod} _{A}\to \operatorname {Mod} _{\operatorname {Z} (A)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d977f831fdf953304fdfcb79b65226a634a4b31)
또한, 임의의
-결합 대수 준동형
![{\displaystyle \phi \colon B\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7549342a18971f64c00054f13e0028887646b7e5)
및
-쌍가군
에 대하여,
은
-쌍가군을 이루며,
이는 호흐실트 호몰로지의 사상[1]:10, §1.1.4
![{\displaystyle \phi _{*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(B;\phi ^{*}M)\to \operatorname {HH} _{n}(A;M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003eee92709b4948e5fdcd5c608165c9210a052e)
및 호흐실트 코호몰로지의 사상[1]:38, §1.5.1
![{\displaystyle \phi ^{*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(A;M)\to \operatorname {HH} ^{n}(B;\phi ^{*}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d694e68dc3f9bda0b384c70a4529463558e0971)
을 유도한다.
특히, 만약
일 때, 이는
-결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서
-가군의 범주로 가는 함자
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(-)\colon \operatorname {Alg} _{K}\to \operatorname {Mod} _{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea87af974543db0210dd5fb79c27d11a4473bb6)
![{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(-)\colon \operatorname {Alg} _{K}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} _{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e7854cf7d3bfe83d90cb5f565328683482ec87)
를 정의한다.
0차 호흐실트 (코)호몰로지[편집]
가환환
위의 결합 대수
및
-쌍가군
이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
![{\displaystyle C_{0}(A;M)=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596fdc2407f0324b4d09eed32d8aa6ffd3bf2cc0)
![{\displaystyle C_{1}(A;M)=M\otimes _{K}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674458bc014a601b2e91507e23d88c776dbe9186)
![{\displaystyle \partial _{1}=\partial _{1,0}-\partial _{1,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba27f19a8fb765759f72130253081e416e7fc18c)
![{\displaystyle \partial _{1,0}\colon m\otimes _{K}a\mapsto ma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ee80954c4f6e8a23b3bfbdf09f31c3d25c40f9)
![{\displaystyle \partial _{1,1}\colon m\otimes _{K}a\mapsto am}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4543740ac91a824e615c01e48a5f02a5637daeaf)
이에 따라,
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(A;M)={\frac {M}{[M,A]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f46acaaec131e1a2feba6d48bd5644a77b329e)
이다.[1]:10, §1.1.6
마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
![{\displaystyle C^{0}(A;M)=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0f9ad81dda835b9d97cc8bd6f01d361dd53713)
![{\displaystyle C^{1}(A;M)=M\otimes A^{\vee }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc397ee12c463068859327d06a630b60a22d6ba0)
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{0}\colon C^{0}(A;M)\to C^{1}(A;M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0aa59c21999bb98d5041cb7eb0416118407a1f)
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{0}(m)(a)=ma-am}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01403df24c61f1fd7202a5461295a183e93023cb)
이에 따라,
![{\displaystyle \operatorname {HH} ^{0}(A;M)=\{m\in M\colon am=ma\qquad \forall a\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fae5f519497f64635166f65233f832253715d7)
는 환의 중심의 개념의 일반화이다.[1]:38, §1.5.2
1차 호흐실트 코호몰로지[편집]
가환환
위의 결합 대수
및
-쌍가군
이 주어졌다고 하자.
1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.[1]:38, §1.5.2 1차 호흐실트 공순환은
-가군 준동형
![{\displaystyle \delta \colon A\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d5116586a191854164897f1dfbab7928519f62)
가운데
![{\displaystyle \delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68549e7fd4be7c024cc7a5a2ce49d0aefd8b5909)
와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 미분(영어: derivation)이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는
![{\displaystyle [m,-]\colon A\to M\qquad (m\in M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588f04d9244a53d874658bb39e4abca48ab3b6c5)
와 같은 꼴의
-가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 내부 미분(영어: inner derivation)이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 외부 미분(영어: outer derivation)의 공간으로 여겨질 수 있다.
가환 대수[편집]
가환환
위의 가환 결합 대수
및
-가군
에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.[2]:307, Proposition 9.2.2[1]:11, Proposition 1.1.10
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(A;M)\cong M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019adef42f6bbbb8384a1b2ff01336a9d8177f3e)
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{1}(A;M)\cong M\otimes _{A}\Omega _{A/K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de83a0397c715c69aa2786d5701a900ddcb5c82)
여기서
는 켈러 미분의 가군이다.
즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.
다항식환[편집]
복소수 계수 다항식환
(
)의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}];\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}]\otimes _{\mathbb {C} }\Lambda ^{n}(\mathbb {C} ^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92cecfa8e3b33b6bc7e93c5000a898656a88a65a)
여기서
는 외대수이다. 구체적으로,
차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle C_{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}_{0},{\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a94aaec7f80f657810ac77411202188d27d60fa)
호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.
![{\displaystyle p({\vec {x}}_{0},\dotsc ,{\vec {x}}_{n})\mapsto \sum _{i_{1}=1}^{k}\sum _{i_{2}=1}^{k}\dotsi \sum _{i_{n}=1}^{k}\left.{\frac {\partial }{\partial (x_{1})^{i_{1}}}}{\frac {\partial }{\partial (x_{2})^{i_{2}}}}\dotsm {\frac {\partial }{\partial (x_{n})^{i_{n}}}}p\right|_{{\vec {x}}_{0}={\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{2}=\dotsb ={\vec {x}}_{n}={\vec {x}}}\mathrm {d} (x_{1})^{i_{1}}\wedge \mathrm {d} (x_{2})^{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} (x_{n})^{i_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b84bac1e9f42c3b31efcf40a914daa5ca4cb6a)
게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다.[3] 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.[4]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]