막대 복합체

호몰로지 대수학에서 막대 복합체(막대複合體, 영어: bar complex 바 콤플렉스^[*])는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 완전열이다.^:§4 Tor 함자와 Ext 함자 등을 계산할 때 쓰인다.

정의

결합 대수에 대한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• (항등원을 갖는) $K$-결합 대수 $A$
• $A$-오른쪽 가군 $M_{A}$
• $A$-왼쪽 가군 $_{A}M'$

그렇다면, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(M,A,M')$는 다음과 같은, $K$-가군의 범주 속의 단체 대상이다.

$\operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')=M\otimes _{K}A^{\otimes _{K}n}\otimes _{K}M'$

$\partial _{n,i}\operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{n-1}(M,A,M')\qquad (0\leq i\leq n)$

$\partial _{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'\mapsto {\begin{cases}ma_{1}\otimes _{K}a_{2}\otimes _{K}\otimes \dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}\otimes m'&i=0\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'&0<i<n\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}\otimes _{K}a_{n}m'&i=n\end{cases}}$

$s_{n,i}\colon \operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{n+1}(M,A,M')\qquad (0\leq i\leq n)$

$s_{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'\mapsto m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'$

특히,

$\partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}$

로 놓으면, 이는 사슬 복합체를 이룬다.

일반적 정의

보다 일반적으로, 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes )$ 속의 모노이드 대상 $A$ 및 그 왼쪽 가군 $_{A}M$과 오른쪽 가군 $M'_{A}$이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathcal {C}}(M,A,M')$은 ${\mathcal {C}}$ 속의 단체 대상을 이룬다.

예를 들어, 모노이드 $A$와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 $_{A}M$ 및 오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 $M'_{A}$이 주어졌을 때, $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Set} }(M,A,M')$은 단체 집합을 이룬다.

성질

완전성

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 그 위의 오른쪽 가군 $M_{A}$과 왼쪽 가군 $_{A}M'$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(M,A,M')$를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에

$\operatorname {Bar} _{0}^{K}(M,A,M')=M\otimes _{K}M'\to \operatorname {Bar} _{-1}^{K}(M,A,M')=M\otimes _{A}M'$

을 추가할 수 있다. 그렇다면,

$\dotsb \to \operatorname {Bar} _{1}^{K}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{0}^{K}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{-1}^{K}(M,A,M')\to 0$

은 완전열이다. 즉, 그 호몰로지는 자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} (M,A,M')$은 $M\otimes _{A}M'$의 분해를 정의한다.

특히, $M=M'=A$인 경우, $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)$는 $A$의 ($(A,A)$-쌍가군으로서의) 분해(영어: resolution)를 이룬다.^{:12, Proposition–definition 1.1.12}

예

호흐실트 호몰로지

 이 부분의 본문은 호흐실트 호몰로지입니다.

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자. $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)$의 각 성분은 모두 $(A,A)$-쌍가군이므로, 포락 대수 $A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }$를 정의하였을 때 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)$는 $A^{\operatorname {e} }$-사슬 복합체를 이룬다. 임의의 $(A,A)$-쌍가군 $M$에 대하여,

$C_{\bullet }(A;M)=M\otimes _{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)$

는 $A$의 $M$계수 호흐실트 사슬 복합체이며, 마찬가지로

$C^{\bullet }(A;M)=\hom _{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A),M)$

은 $A$의 $M$계수 호흐실트 공사슬 복합체이다.

군 코호몰로지

 이 부분의 본문은 군 코호몰로지입니다.

군 코호몰로지와 군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체와 사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

분류 공간

 이 부분의 본문은 분류 공간입니다.

위상 공간의 (범주론적 곱에 대한) 모노이드 범주에서, 위상군 $G$가 주어졌다고 하자. 이는 물론 한원소 공간 $\bullet$ 위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,\bullet )$를 정의할 수 있다. 또한, $G$는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,G)$를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상

$\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,G)\twoheadrightarrow \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,\bullet )$

이 존재한다. 이는 $G$-주다발을 이루며, 또한 위상군 $G$의 분류 공간 $\operatorname {E} (G)\twoheadrightarrow \operatorname {B} (G)$을 이룬다.

역사

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1953년에 도입하였다. “막대 복합체”라는 이름은 에일렌베르크와 매클레인이 (오늘날 통상적으로 “$\otimes$”로 표기되는) 텐서곱을 막대기 모양의 기호 “$|$”로 표기하였기 때문이다.^:§4.3

외부 링크

• “Bar and cobar construction”. 《nLab》 (영어). 
• “Bar construction”. 《nLab》 (영어). 
• “Simplicial bar construction”. 《nLab》 (영어). 
• “Two-sided bar construction”. 《nLab》 (영어). 
• “Bar resolution”. 《Groupprops》 (영어). 
• Malkiewich, Cary. “The bar construction” (PDF) (영어). 
• Hess, Kathryn (2007년 5월). “The cobar construction: a modern perspective” (PDF) (영어). 
• Trimble, Todd (2007년 5월 31일). “On the bar construction”. 《The n-Category Café》 (영어).